高三数学试卷

2015.1

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

设集合M＝{x|＜0}，N＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则集合M∩N＝________．

复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是_______．

某公司生产三种型号A、B、C的轿车，月产量分别为1200、6000、2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A的轿车应抽取________辆．

有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是__________．

右图是一个算法的流程图，则输出S的值是________．

设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的_________条件．

取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1∶V2＝________.

如图，在△ABC中，∠BAC＝120o，AB＝AC＝2，D为BC边上的点，且·＝0，＝2，则·＝_______.

对任意的实数b，直线y＝－x＋b都不是曲线y＝x3－3ax的切线，则实数
的取值范围是________．

如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆(a＞b＞0)的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为 ．

已知函数f (x)＝，若a,b,c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＋c的取值范围为 　　 ．

若函数f (x)＝sin(ωπx－)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是___________．

若实数a,b,c成等差数列，点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是__________．

定义：若函数f (x)为定义域D上的单调函数，且存在区间(m,n)?D(m＜n)，使得当x∈(m,n)时，f (x)的取值范围恰为(m,n)，则称函数f (x)是D上的“正函数”． 已知函数f (x)＝ax (a＞1)为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

在△ABC中，A、B、C为三个内角，f (B)＝4sinB·cos2＋cos2B．（Ⅰ）若f (B)＝2，求角B；（Ⅱ）若f (B)－m＜2恒成立，求实数m的取值范围．

正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．

如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1米，l2与该养殖区的最近点B的距离为2米．（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD＝60o，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．

已知椭圆C：经过点(0,)，离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；（3）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有＋＋＋···＋＝(a1＋a2＋a3＋···＋an)2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝3n＋(－1)n?1·λ·2an (λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn＋1＞bn．

已知函数f (x)＝ (m,n∈R)在x＝1处取到极值2．（1）求f (x)的解析式；（2）设函数g(x)＝ax－lnx，若对任意的x1∈[, 2]，总存在唯一的x2∈[, e](e为自然对数的底)，使得g(x2)＝f (x1)，求实数a的取值范围．

命题、校对：王喜、蒋红慧

附加题

已知矩阵M＝，N＝，且MN＝，（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为＋y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望E(X )；（2）求恰好得到n (n∈N*)分的概率．

高三数学试卷参考答案

2015.1

1、(1,2) 2、(－1,1) 3、6 4、 5、63 6、充要 7、 8、1 9、(－∞,) 10、－1 11、(25,34) 12、13、5＋ 14、(1, e)

15、解：(Ⅰ) f (B)＝4sinBcos2(－)＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋1―2sin2B＝2sinB＋1＝2∴sinB＝ 又∵0＜B＜π ∴B＝或．(Ⅱ) ∵f (B)－m＜2恒成立∴2sinB＋1－m＜2恒成立 ∴2sinB＜1＋m∵0＜B＜π，∴2sinB的最大值为2，∴1＋m＞2 ∴m＞1．

16、证明：（1）正方形ABCD中，
， 又
平面CDE，
平面CDE，

所以
平面CDE．

（2）因为
，且
，

所以
，

又
且
，
，

所以
， 又
，

所以
．

17、解：（1）设
与
所成夹角为
，则
与
所成夹角为
，

对菱形
的边长“算两次”得
， 解得
，

所以，养殖区的面积
；（5分）

（2）设
与
所成夹角为
，
，

则
与
所成夹角为
，

对菱形
的边长“算两次”得
，解得
，

所以，养殖区的面积


，

由
得
，

【要修改为：列表求最值】经检验得，当
时，养殖区的面积
．

答：（1）养殖区的面积为
；（2）养殖区的最小面积为
．（15分）

18、解：（1）（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)∵＝? ∴(x1,y1－y0)＝?(1－x1,－y1) ∴?＝，同理，?＝∴?＋?＝＋＝∵∴(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝∴x1＋x2－2x1x2＝－2×＝， x1x2－x1－x2＋1＝－＋1＝∴?＋?＝－＝－（3）当l⊥x轴时，易得AE与BD的交点为FK的中点(,0)下面证明：BD过定点P(,0)B、D、P共线?kBP＝kDP?＝?y2＝x2y1－y1?3y2＝2x2y1－5y1?3k(x2－1)＝2x2k(x1－1)－5k(x1－1)?2kx1x2－5k(x1＋x2)＋8k＝0?2k·－5k·＋8k＝0?2k(4k2－12)－40k3＋8k(4k2＋3)＝0成立．得证．同理，AE过定点P(,0)，∴直线AE与BD相交于一定点(,0)．【注】：书写可证明：kBP－kDP＝···－···＝·······，证明值为0．

19、证明：(1)在已知式中, 当n＝1时, ＝∵a1＞0∴a1＝1当n≥2时, ＋＋＋···＋＝(a1＋a2＋···＋an)2···········① ＋＋＋···＋＝(a1＋a2＋···＋an－1)2(n≥2)········②由①－②得, ＝an[2(a1＋a2＋···＋an－1)＋an] (n≥2) ∵an＞0∴＝2(a1＋a2＋···＋an－1)＋an(n≥2) ········③ ＝2(a1＋a2＋···＋an－2)＋an－1(n≥3) ········④③－④得, －＝2an－1＋an－an－1＝an－1＋an (n≥3)∵an－1＋an＞0, ∴an－an－1＝1(n≥3),∵a1＝1，a2＝2∴a2－a1＝1∴an－an－1＝1(n≥2) ∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1, 可得an＝n（2） ∵an＝n, ∴bn＝3n＋(－1)n?1?·2n∴bn＋1－bn＝3n+1＋(－1)n?·2n+1－[3n＋(－1)n?1?·2n]＝2·3n－3?(－1)n?1·2n＞0∴?(－1)n?1＜()n?1········⑤当n＝2k－1,k＝1,2,3,···时, ⑤式即为?＜()2k?2········⑥依题意, ⑥式对k＝1,2,3,···都成立, ∴?＜1当n＝2k,k＝1,2,3,···时, ⑤式即为?＞－()2k?1·········⑦依题意, ⑦式对k＝1,2,3,···都成立 ∴?＞－ ∴－＜?＜1又?≠0, ∴存在整数?＝－1, 使得对任意n∈N*, 都有bn＋1＞bn．

20、解： （1）∵f ?(x)＝＝∵由f (x)在x＝1处取到极值2，∴∴＝0，＝2,∴，经检验，此时f (x)在x＝1处取得极值，故f (x)＝（2）记f (x)在[,2]上的值域为A，函数g(x)在[,e]上的值域为B， 由（1）知：f ?(x)＝＝ ∴f (x)在[,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，由f (1)＝2，f (2)＝f ()＝，故f (x)的值域A＝[,2]依题意g?(x)＝a－ ∵x∈[,e] ∴≤≤e2①当a≤时，g?(x)≤0 ∴g(x)在[,e]上递减 ∴B＝[g(e),g()]，由题意得：[,2]?B．∵g(e)＝ae－1，g()＝a＋2，∴ ∴ ∵＞ ∴0≤a≤②当＜a＜e2时，e＞＞ ∴当x∈[,)时，g?(x)＜0；当x∈(,e]时，g?(x)＞0；∵对任意的y1∈[,2]，总存在唯一的x2∈[,e]，使得g(x2)＝y1 ∵g(e)－g()＝ae－a－3＝a(e－)－3∴当＜a＜e2时，g(e)＞g()，∴∴ 无解 当＜a＜时，g(e)＜g() ∴ ∴ ∵＜ ∴＜a＜当a＝时，g(e)＝g()不成立；③当a≥e2时，＜ ∴g?(x)＞0 ∴g(x)在[,e]上递增 ∴B＝[g(), g(e)]∵[,2]?B ∴g(e)≥2，g()≤ ∴ ∴ 无解综上，0≤a≤

附加题

1、解：（Ⅰ）由题设，＝得，解得；（Ⅱ）取直线y＝3x上的两点(0,0)、(1,3)，由＝，＝得：点(0,0)、(1,3)在矩阵M所对应的线性变换下的像是(0，0)，(－2，2)，从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性