邯郸市2015届高三质检考试理科数学

一．选择题

已知集合
则

A．
B.
C.
D.

2.已知是虚数单位，则复数
的虚部是

A. 0 B. C.
D. 1

3. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为
，则它的离心率为

A.  B. 

C. D. 

4设
是两个非零向量，则“
”是“
夹角为钝角”的

A.充分不必要条件　　　 　　B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　 　　 　　D.既不充分也不必要条件

5. 执行如右图所示的程序框图,若输出的值为16，那么输入的值等于

A.5 B.6 C.7 D.8

6. 已知在平面直角坐标系
上的区域由

不等式组
给定．若
为上的动点，点的坐标为
，则
的最大值为

A．
　　B．
　　 C．　　　　D．

7. 如图，在底面边长为的正方形的四棱锥
中，已知
，且
，则直线
与平面
所成的角的余弦值为

8. 已知
，A是由曲线
与
围成的封闭区域，若向上随机投一点，则点落入区域A的概率为

A.
B.
C.
D.

9.下列三个数：
，大小顺序正确的是

A.
B.
C.
D.

10.已知等差数列
中，前10项的和等于前5项的和.若
则

10 9
8 2

11．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

A.10 B.20 C.40 D.60

12. 已知函数
是定义域为的偶函数. 当
时，

若关于的方程
（
）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是

A．
B．

C．
D．

二、填空题

13. 如图，正六边形
的边长为
，

则
______；

14. 已知
，
，则
的最小值为 ；

15. 已知圆
，过点
作
的切线，切点分别为
，则直线
的方程为 ；

16. 如图，在
中，
,D是AC上一点，E是BC上一点，若
.
,
,则BC= .

三．解答题

17. (本小题满分10分)等差数列
中，
，公差
且
成等比数列，前项的和为
.

求
及
;

设
，
，求
.

18. (本小题满分12分)已知

(1)求函数
的最小正周期及在区间
的最大值;

(2) 在
中,
所对的边分别是
，

，

求
周长的最大值.

19. (本小题满分12分)如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M 为PD的中点，∠ADC = 45o，AD = AC = 1，PO=a

(1)证明：DA⊥平面PAC；

(2)如果二面角M?AC?D的正切值为2，求a的值.

20. (本小题满分12分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．

（1）根据直方图求的值，并估计该小区100户居民的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）从该小区已抽取的100户居民中，随机抽取月用电量超过250度的3户，参加节约用电知识普及讲座，其中恰有
户月用电量超过300度，求
的分布列及期望.

(本小题满分12分)已知椭圆C:
过点
，离心率为
，点
分别为其左右焦点.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若
上存在两个点
，椭圆上有两个点

满足，
三点共线，
三点共线，且
.

求四边形
面积的最小值.

22(本小题满分12分)己知函数

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)设
，若对任意不相等的正数
，恒有
，求a的取值范围.

2015届高三质检考试

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题

1—5 CDABC 6—10 CDDAA 11—12 BC

填空题

13.
，14.
，15.
，16.

三．解答题

17. 解：（1）有题意可得
又因为

………… 2分

………………… 4分

（2）
………6分

………………10分

18.解：

(1)

， ………2分

最小正周期为 ………4分

所以
在区间
的最大值是0. ………6分

(2)
,
………8分

由余弦定理得,

即
,当且仅当
时取等号.

的周长的最大值是6. ……………12分

法二：由
，得
，由正弦定理可得，

………8分

所以，当
时，L取最大值，且最大值为6 ………12分

19.(1)证明：由题意，∠ADC = 45o，AD = AC = 1,故∠DAC = 90o

即DA⊥AC.又因为 PO⊥平面ABCD,

所以，DA⊥PO，DA⊥平面PAC ……………4分

（2）法一：连结DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因为M是PD中点，且MG⊥DO，所以G为DO中点，且MG⊥平面ABCD，显然，∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角.…………8分

因为GH⊥AO，且G为DO中点，所以
，而
，故
，PO=2MG=2. ……………12分

法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则

,
，
，
，

设平面MAC的法向量为
，
，
，则
，所以
的一个取值为

……………10分

平面ACD的法向量为
.

设二面角的平面角为
，

因为
，所以

a=2 ……………12分

20.

（1）解:由已知得

……………2分

设该小区100户居民的月均用电量为S

则

9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186………6分

（2）该小区用电量在
的用户数为
，

用电量在
的用户数为

时，
，
时，
,

时，
,
时，
………10分

所以
的分布列是

0

1

2

3
















=1

……………12分

21.解：（1）由题意得：
，得
，因为
，得
，所以
，所以椭圆C方程为
. ……………4分

（2）当直线
斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得
,
.

当直线
斜率存在时，设直线方程为：

与
联立得
；

令
，
，
.

，……………6分

，直线PQ的方程为：

将直线与椭圆联立得，

令
,
，
；

，……………8分

四边形
面积S=
，

令
，上式

=

所以
.最小值为
……………12分

22.解：(1)
的定义域为
.

当
时，
，故
在
单调递增

当
时，
，故
在
单调递减；

当
时，令
，解得

即
时，
；
时，
；

故
在
单调递增，在
单调递减；…6分

（2）不妨设
，而
，由（1）知
在
单调递减，从而对任意
，恒有

……………8分 令
，则
原不等式等价于
在
单调递减，即
，从而

，

故的取值范围为
…………….12分

另解：
设
，

则

当
，
。

∴
∴

（如果考生将
视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分）