高三年级第一次模拟考试数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含填空题(第1-14题)、解答题(第15题一第20题).本卷满分160分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名，准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须

用0.5毫米黑色墨水的签字笔，注意字体工整，笔迹清楚.

4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.

一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，

1．己知集合
，则
中元素的个数为_______．

2．设复数z满足
（i是虚数单位），则z的虚部为_______．

3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数

学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．

4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名

应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用

的概率为 _______．

5．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，

则输出y的值为_____．

6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，

则该圆锥的体积为 ______.

7. 已知
是定义在R上的奇函数，当
时

，则
的值为_____.

8. 在等差数列
中，已知
，则
的值为______.

9. 若实数
满足
，则
的最小值为_______.

10. 已知椭圆
，点
依次为其左顶点、下顶点、

上顶点和右焦点，若直线
与直线
的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心

率为______.

11．将函数
的图象分别向左、向右各平移
个单位长度后，所

得的两个图象对称轴重合，则的最小值为______．

12．己知a，b为正数，且直线
与直线
互相平行，则2a+3b的最小值为________.

13．已知函数
，则不等式
的解集为______.

14．在△ABC中，己知
，点D满足
，且
，则BC的长为_______ ．

二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题1 4分，18～20每小题1 6分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

己知向量
，
．

(1)若
，求
的值：

(2)若
，且
，求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC平面ABC．

(1)若AB BC，CD PB，求证：CP PA：

(2)若过点A作直线
上平面ABC，求证：
//平面PBC．

17.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，己知点
，C， D分别为线段OA， OB上的动点，且满足AC=BD.

（1）若AC=4，求直线CD的方程;

（2）证明： OCD的外接圈恒过定点(异于原点O).

18.(本小题满分16分)

如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km， AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位:
).

(I)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;

(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3
?并说明理由.

19.(本小题满分16分)

在数列
中，已知
，
为常数.

(1)证明:
成等差数列;

(2)设
，求数列 的前n项和
；

（3）当
时，数列
中是否存在三项
成等比数列，

且
也成等比数列?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

20.(本小题满分16分)

己知函数

(1)若
，求函数
的单调递减区间;

(2)若关于x的不等式
恒成立，求整数 a的最小值:

(3)若
，正实数
满足
，证明:

高三年级第一次模拟考试

数学II(附加题部分)

注意事项

1.本试卷共2页，均为解答题(第21题~第23题，共4题).本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位里作答，在其它位里作答一律无效.

21.【选做题】本题包括A, B, C, D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A选修4-1:几何证明选讲

(本小题满分10分)

如图，
0是△ABC的外接回，AB = AC，延长BC到点D，使得CD = AC，连结AD

交
O于点E.求证:BE平分ABC

B.选修4-2:矩阵与变换

(本小题满分10分)

已知
，矩阵
所对应的变换
将直线
变换为自身

求a,b的值。

C.选修4-4:坐标系与参数方程

(本小题满分10分)

己知直线
的参数方程为
（t为参数）,圆C的参数方程为
.

(a>0.
为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线
的距离的最大值为
，求a的值。

D.选修4-5:不等式选讲

(本小题满分10分)

若
，且
，求
的最小值.

【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分10分)

某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生 在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.

(1)求某同学至少选修1门自然科学课程的概率;

(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是
，自然科学课程的概率都是
，且各门课程通过与否相互独立.用
表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量
的概率分布列和数学期望。

23.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物
的准线方程为

过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线
过点M与抛物

线交于两点B,C，与直线OA交于点N.

(1)求抛物线的方程;

(2)试问:
的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。

苏北四市高三年级第一次模拟考试

数学参考答案与评分标准（定稿）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

1．6； 2．
； 3．
； 4．
； 5．7； 6．
； 7．
；

8．22； 9．18； 10．
； 　11．2； 12．25 ； 13．
； 14．3．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(1)因为
，所以
， …………………………………………………………2分

所以
，即
． …………………4分

因为
，所以
． …………………………………………6分

(2)由∥，得
， ………………………………………………8分

即
，即
，

整理得，
……………………………………………………11分

又
，所以
，

所以
，即
． …………………………………………………14分

16．（1）因为平面
⊥平面
，平面
平面

，
平面
，

⊥
，所以
⊥平面
． …………………………………………………2分

因为
平面
，所以
⊥
. ………………………………………………4分

又因为
⊥
，且
，
平面
,

所以
⊥平面
，…………………………………………………………………6分

又因为
平面
，所以
⊥
．……………………………………………7分

（2）在平面
内过点作
⊥
，垂足为．…………………………………8分

因为平面
⊥平面
，又平面
∩平面
＝BC，

平面
，所以
⊥平面
．…………………………………………10分

又⊥平面
，所以//
．……………………………………………………12分

又
平面
，
平面
， //平面
．……………………………14分

17．(1) 因为
，所以
，…………………………………1分

又因为
，所以
，所以
，…………………………………3分

由
，得
，…………………………………………………………… 4分

所以直线
的斜率
， ………………………………………………5分

所以直线
的方程为
，即
．…………………………6分

（2)设
，则
．…………………………………………7分

则
，

因为
，所以
，

所以点的坐标为
………………………………………………………8分

又设
的外接圆的方程为
，

则有
……………………………………………10分

解之得
,
,

所以
的外接圆的方程为
，…………12分

整理得
，

令
，所以
（舍）或

所以△
的外接圆恒过定点为
．…………………………………………14分

18．(1)如图，以为坐标原点，
所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为
．……………………………………………………………………………1分

设边缘线
所在抛物线的方程为
，

把
代入，得
，解得
，

所以抛物线的方程为
．…………………………………………………………3分

因为
，……………………………………………………………………………4分

所以过
的切线
方程为
．………………………………………5分

令
，得
；令
，得
，…………………………………7分

所以
，…………………………………………………………8分

所以
，定义域为
．………………………………………9分

(2)
，……………………………………………12分

由
，得
，

所以
在
上是增函数，在
上是减函数，…………………………14分

所以
在
上有最大值
．

又因为
，

所以不存在点，使隔离出的△
面积超过3