莆田第二十四中学2014-2015学年上学期高三第二次月考数学(文)试卷

高三文科备课组

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．已知向量
，
，则
与
( )

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

2．设集合
，
则集合
( )

A．(—2，4) B．(—1，2) C．
D．

3. 已知函数
若直线
与函数
的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

4.已知数列{
}的前n项和为
，且,
则
等于 （ ）

A． 4 B．2 C．1 D．

5.在△ABC中,
分别是
的对边,若
,则△
是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形

6.设、是两条不同的直线，、
是两个不同的平面，则（ ）

A. 若
，
，
，则
B. 若
，
，则

C. 若
，
，
，则
D. 若
，
，则

7.如图为函数y＝sin(2x＋)的图象，则的值可以为（ ）

A.
或
B.
C.
D.

8．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l?α，且m?β，那么下列命题中不正确的是（　　）

　 A． “l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

　 B． “l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件

　 C． “m∥α”是“l∥m”的充要条件

　 D． “l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件

9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )

A.①② B. ①④ C .②③ D.③④

第9题图 第10题图

10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

11.若函数
在定义域上可导，且其导函数
在上也可导，则称
在上存在二阶导函数，记作
，即
，当
在上恒成立时，称
在上是凸函数.下列函数在
上不是凸函数的是（ ）

A．
B.

C．
D.

12.设
，
，
为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足
与
不共线，

，
=
，则
的值一定等于（ ）

A．以
，
为两边的三角形面积 B. 以
，
为邻边的平行四边形的面积

C．以
，
为两边的三角形面积 D. 以
，
为邻边的平行四边形的面积

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

13． 函数
的定义域为_________

14. 已知为钝角，且
,则
= ；

15.数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝，则数列{an}的通项公式为________．

16．
中，
，点
为边
的中点，
，则
的最大值为________

三．解答题（本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）

17.（本小题满分12分）

如图2，在三棱柱
中，
平面
，

，
，
，、分别为
、

的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

18. （本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
，

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
,
（
），求数列
的前项和
.

19. （本小题满分12分）

20.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
，且曲线
在点
处的切线垂直于直线
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间和极值．

21．（本小题满分12分）

已知长方体
，其中
，过
三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的，且这个几何体的体积为
.

（1）求几何体
的表面积；

（2）在线段
上是否存在点，使直线
与
垂直，

如果存在，求线段
的长，如果不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足
(其中
，a为正常数)．已知生产该批产品P万件还需投入成本
万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为
元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

高三第二次月考数学（文）试卷参考答案

一、

二、

三、解答题

17.解：（Ⅰ）法一：取
中点，连结
，
…………1分

∵，分别是
，
的中点

∴
，且

∵
，且

∴
，且

∴四边形
为平行四边形…………4分

∴

又∵
平面
，
平面

∴
平面
…………6分

法二：取
中点，连结
，
…………1分

则
且
∴四边形
为平行四边形∴

又∵
平面
，
平面
∴
平面
…………3分

∵、分别为
、
的中点∴

又∵
平面
，
平面
∴
平面
…………4分

又∵

，
平面
，
平面

∴平面
平面
…………5分

又∵
平面
∴
平面
…………6分

（Ⅱ）∵
，
，

∴
…8分

∴三棱锥
的体积为
…10分

…12分

18.

19.解：（I）

……3分

，函数
的周期
，由题意知
，即
，

又
，
．故的取值范围是
……5分

（Ⅱ）由（I）知的最大值为1，
．
，

．而
，
，
．　……9分　

由余弦定理可知：
，
，又

联立解得：

　……12分

20.解：（Ⅰ）
……2分

∵曲线
在点
处的切线垂直于直线

　∴
，∴
……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，则

令
，解得
，　　又
的定义域为
…………6分

当
时，
　∴
在
内为增函数…………8分

当
时，
　∴
在
内为减函数…………10分

由此知函数
在
处取得极大值
…………12分

21．解：（1）

.------------------------------------------------------3分

，设
的中点H，

所以
---------------------------5分

表面积
----------------------6分

（2）在平面
中作
交
于
，过
作
交
于点
，则
.----------------------------------------7分

因为
，而
，

又
，
且
.…………………9分

∽
.

为直角梯形，且高
.……12分

22．(1)由题意知，
，----------------------------------------------3分

将
代入化简得：
（
）. ----------------------- 6分

(2)

当
时,

时
， 所以函数
在
上单调递增

时
，所以函数
在
上单调递减

促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;------------------------------------------------------9分

当
时, 因为函数
在
上单调递增

在
上单调递增,

所以
时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .

综上,当
时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;

当
时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大 -------------------------------12分

（注：当
时，也可：
，

当且仅当
时，上式取等号）