福州市2014―2015学年度第一学期高三质量检查

文科数学试卷参考答案及评分细则

一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分．

1．C 2．A 3．C 4．A 5． A 6．D

7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．

13．
14．
15．
16．①③

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17．本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．

解：（Ⅰ）方程
的两根为1,2，由题意得
,
． 2分

设数列
的公差为，则
， 4分

所以数列
的通项公式为
． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， 8分

所以

10分

． 12分

18．本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．

解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为
，则
分别表示这3个人不接受挑战．

这3个人参与该项活动的可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
．共有8种； 2分

其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：
，
，
，
，共有4种. 4分

根据古典概型的概率公式，所求的概率为
. 6分

（说明：若学生先设“用
中的
依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成
,
,
，
,
,
,

,
，不扣分．）

（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， 7分

根据
列联表，得到
的观测值为：

． 10分

（说明：表示成
不扣分）．

因为
，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． 12分

19．本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．

解：（Ⅰ）依题意得，点的坐标为
． 2分

点到直线
的距离
， 4分

所以所求圆的方程为
． 6分

（Ⅱ）解答一：
成等比数列，（或
成等比数列）理由如下： 7分

设直线的方程为
． 8分

由
消去得，
． 10分

所以
，即
， 11分

所以
成等比数列（或
成等比数列）． 12分

解答二：
成等比数列，（或
成等比数列）理由如下： 7分

设直线的方程为
． 8分

由
消去得，
． 10分

所以
， 11分

所以
成等比数列（或
成等比数列）． 12分

20．本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．

解：（Ⅰ）因为
，所以
， 2分

所以
在区间
上的最小值记为
，

所以当
时，
，故
． 4分

（Ⅱ）当
时，函数
在
上单调递减，

所以
； 5分

结合（Ⅰ）可知，
6分

因为
时，
，所以
时，
7分

易知函数
在
上单调递减， 8分

因为定义在
的函数
为偶函数，且
，

所以
，所以
， 10分

所以
即
，从而
．

综上所述，所求的实数的取值范围为
． 12分

21．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．

解：（Ⅰ）因为函数
的最小正周期
， 1分

所以函数
的半周期为4，

故
． 2分

又因为为函数
图象的最高点，

所以点坐标为
，故
， 3分

又因为
坐标为
，所以
，

所以
且
，所以
为等腰直角三角形. 5分

（Ⅱ）点
不落在曲线

上. 6分

理由如下：

由（Ⅰ）知，
，

所以点,
的坐标分别为
,
， 8分

因为点在曲线

上，

所以
，

即
，又
，所以
. 10分

又
.

所以点
不落在曲线

上． 12分

22．本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．

解：（Ⅰ）依题意得，
， 1分

． 2分

所以曲线
在点
处的切线方程为
． 3分

（Ⅱ）等价于对任意
，
． 4分

设
，
．

则

因为
，所以
， 5分

所以
，故
在
单调递增， 6分

因此当
时，函数
取得最小值
； 7分

所以
，即实数的取值范围是
． 8分

（Ⅲ）设
，
．

①当
时，由（Ⅱ）知，函数
在
单调递增，

故函数
在
至多只有一个零点，

又
，而且函数
在
上是连续不断的，

因此，函数
在
上有且只有一个零点． 10分

②当
时，
恒成立．证明如下：

设
，则
，所以
在
上单调递增，

所以
时，
，所以
，

又
时，
，所以
，即
．

故函数
在
上没有零点． 12分

③当
时，
，所以函数
在
上单调递减，故函数
在
至多只有一个零点，

又
，而且函数
在
上是连续不断的，

因此，函数
在
上有且只有一个零点．

综上所述，
时，方程
有两个解． 14分