房山区2015年高三第一次模拟试题

高三数学(理科)

考

生

须知

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。

第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。



第I卷 选择题（共40分）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。

1. 已知集合
，
，则
为(　　)

A．

B．

C．

D．



2．双曲线
的实轴长是虚轴长的2倍，则
=（ ）

A．4

B．2

C．

D．



3. 设变量
、
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．
　

B．

C．
　

D．



4．从
名学生中选出
名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）

A．
　

B．

C．
　

D．



5. 已知二次函数
，则“
”是“函数
在
上为增函数”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件



C．充要条件

D．既不充分也不必要条件





6．一个棱长为
的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）





A．

B．





C．

D．















7．向量
，
，若
与
的夹角等于
，则
的最大值为（　　）

A．
　

B．

C．

D．





8．一个人骑车以
米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车
米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻
的速度
米/秒，那么此人（ ）

A．可在
秒内追上汽车

B．不能追上汽车,但其间最近距离为16米



C．不能追上汽车,但其间最近距离为
米

D．不能追上汽车,但其间最近距离为
米





第II卷 非选择题(共110分）

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡指定位置。

9．已知复数
满足
，则复数

．

10．执行如下图所示的程序框图，若输入
的值为8，则输出
的值为
．

11．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为
的

大正方形，若直角三角形中较小的锐角
，现在向该正方形区域内随机地

投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是
．







12．如图所示，圆
的割线
交圆
于
、
两点，割线
经过圆心．

已知
，
，
．则圆
的半径
．





13．已知直线
过点
，且与
轴、
轴的正半轴分别交于
两点，
为坐标原点，则

面积的最小值为
，此时，直线
的方程为
．

14．已知函数
是
上的偶函数，对
，都有
成立．当
，
，且
时，都有
，给出下列命题：（1）
；（2）直线
是函数
图象的一条对称轴；（3）函数
在
上有四个零点；（4）
.其中所有正确命题的序号为
．

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15．（本小题共13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的单调递增区间；

（Ⅱ）在△
中，三个内角
的对边分别为
，已知
，且△
外接圆的半径为
，求
的值.

16.（本小题共13分）

为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前
组的频率之比为
， 其中第
组的频数为
.

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；

（Ⅱ） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设
表示体重超过
公斤的学生人数，求
的分布列和数学期望.

17.（本小题共14分）

在如图所示的多面体中，
⊥平面
，
⊥平面ABC，

，且
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
⊥
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
,使得直线
与平面

所成的角为
．若存在，指出点
的位置；若不存在，请说明理由．

18．（本小题共13分）

已知
，其中
．

(Ⅰ)若函数
在点
处切线斜率为
，求
的值；

(Ⅱ)求
的单调区间；

(Ⅲ)若
在
上的最大值是
，求
的取值范围．

19.（本小题共14分）

动点
到定点
的距离与它到定直线
的距离之比为
.

(Ⅰ) 求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ） 已知定点
，
，动点
在直线
上，作直线
与轨迹
的另一个交点为
,作直线
与轨迹
的另一个交点为
，证明：
三点共线.

20．（本小题共13分）

下表给出一个“等差数阵”：

4

7

（ ）

（ ）

（ ）

…



…



7

12

（ ）

（ ）

（ ）

…



…



（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

…



…



（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

…



…



…

…

…

…

…

…

…

…













…



…



…

…

…

…

…

…

…

…



其中每行、每列都是等差数列，
表示位于第
行第
列的数.

（I）写出
的值；

（II）写出
的计算公式；

（III）证明：正整数
在该等差数阵中的充要条件是
可以分解成两个不是
的正整数之积..

房山区2015年高三第一次模拟试题

高三数学(理科)

参考答案

一、选择题（每题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

B

C

B

 D

A

D



二、填空题（每题5分，共30分）

9．
; 10. 8; 11.
; 12. 8 ； 13.

;

14. （1）（2）（4）

三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分）

15． （本小题共13分）

解：（Ⅰ）∵
………………2分

=
………………3分

由
Z)得，
Z) 5分

∴
的单调递增区间是
Z) ………………7分

（Ⅱ）∵
，
，

于是

∴
………………10分

∵
外接圆的半径为

由正弦定理
，得

， ………………13分

16．（本小题共13分）

解：（I）设报考飞行员的人数为
,前三小组的频率分别为
，则由条件可得：

解得，

又因为
故

………………5分

(II)由（I）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为

，

∴随机变量
的分布列为：

























则
，或
．

………………13分

17．（本小题共14分）

（I）证明：
是
的中点
．

又

平面
，
．

平面

∴
………………4分

（Ⅱ）以
为原点，分别以
,
为x，y轴，如图建立坐标系
，

则

设平面
的一个法向量
，则

取
所以

设平面
的一个法向量
，则

取
，所以

所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
. ………………9分

（Ⅲ）设
且
,

若直线
与平面
所成的角为
，则

解得：
，所以符合条件的点
存在，为棱
的中点. ………………14分

18．（本小题共13分）

解：(Ⅰ)由题意得f ′(x)＝，x∈(－1，＋∞)，

由f ′(3)＝0?a＝． ………………3分

(Ⅱ)令f ′(x)＝0?x1＝0，x2＝－1，

①当0

f(x)与f ′(x)的变化情况如下表

x

(－1,0)

0

(0，－1)

－1

(－1，＋∞)



f ′(x)

－

0

＋

0

－



f(x)



f(0)



f(－1)





∴f(x)的单调递增区间是(0，－1)，

f(x)的单调递减区间是(－1,0)和(－1，＋∞)；

②当a＝1时，f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)；

③当a>1时，－1

f(x)与f ′(x)的变化情况如下表