2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）

数 学（文科）

沈阳命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 　金行宝

　　沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学　潘 戈

　　沈阳市回民中学　　庞红全　　　沈阳市第二十八中学　陶　慧

沈阳主审：沈阳市教育研究院 王恩宾

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交回。

球的体积公式：
.

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 设复数
（
是虚数单位），则
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

已知

=
，且

，则
为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4. 已知△
中，内角A，B，C的对边分别为
,
，
，则△
的面积为（ ）

（A）
（B）1 （C）
（D）2

5.
是
成立的（ ）

（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为
，则判断框中填写的内容可以是( )

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的

是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8. 函数
对任意
都有

，则
等于( )

（A）
或
（B）
或
（C）
（D）
或

9. 在平面直角坐标系中，若
满足
，

则
的最大值是（ ）

（A）2 （B）8 （C）14 （D）16

已知抛物线

的焦点为
，直线
与
交于
在
轴上方）两点．若
，则实数
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）2 （D）3

11. 若关于
方程
有且只有两个解，则 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

12. 定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数：① 对任意的
，总有
；

② 当
时，总有
成立，则下列函数不是
函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二. 填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

13. 函数
(
)的单调递增区间是__________.

14. 将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 .

15. 已知定义在
上的偶函数
在
单调递增，且
，则不等式
的解集是 .

16. 如图，半球内有一内接正四棱锥
，

该四棱锥的体积为
，则该半球的体积

为 .

三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

　　等差数列
的前
项和为
，且满足
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，求证：
.

18.（本小题满分12分）

　　某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

学生

1号

2号

3号

4号

5号



甲班

6

5

7

9

8



乙班

4

8

9

7

7



　 （Ⅰ）从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？

　 （Ⅱ）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.

19.（本小题满分12分）

　　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且
，点F为PD中点.

　 （Ⅰ）若
，求证：直线AF
平面PEC ；

　 （Ⅱ）是否存在一个常数
，使得平面PED⊥平面PAB. 若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）

　　已知椭圆
:
的上顶点为
，且离心率为
，

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

　 （Ⅱ）证明：过圆
上一点
的切线方程为
；

　 （Ⅲ）从椭圆
上一点
向圆
上引两条切线，切点为
. 当直线
分别与
轴、
轴交于
两点时，求
的最小值.

21.（本小题满分12分）

　　已知函数
，常数
.

　 （Ⅰ）若
，过点
作曲线
的切线
，求
的方程；

　 （Ⅱ）若曲线
与直线
只有一个交点，求实数
的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

　　如图所示，
为圆
的直径，
，
为

圆
的切线，
，
为切点.，

　（Ⅰ）求证：
；

　 （Ⅱ）若圆
的半径为2，求
的值.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

　　已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）

　　（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

　　（Ⅱ）已知
，圆
上任意一点
，求△
面积的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

　　设函数
．

　　（Ⅰ）求不等式
的解集；

　　（Ⅱ）若
R，
恒成立，求实数
的取值范围．

2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）

数学（文科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

（1）C；（2）A； （3）B；（4）C；（5）A；（6）C；（7）D；（8）B；

（9）C；（10）D；（11) B；（12）D．

二.填空题

（13）
；（14） 17；(15)
； （16）
.

三.解答题

（17）解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，则由已知条件可得：
，…2分

解得
， 　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………4分

于是可求得
.　　　　　　　　　　　　　………………………………6分

（Ⅱ）因为
，故
， ………8分

于是
.

……10分

又因为

，所以
. ………………………………12分

(18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，　　　　……………………………………1分

甲班的方差
，　　……………3分

乙班的方差
，　……………5分

因为
，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. 　 　……………6分

(Ⅱ)甲班1到5号记作
，乙班1到5号记作
，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为

=
，　　 　 　…………………8分

由25个基本事件组成，这25个是等可能的；

将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作
，

则
，
由10个基本事件组成， …………10分

所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为
. 　 …………12分

(19)解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M. 　 …………………………………2分

∵点F为PD中点，∴
.

∵
，∴
，…………4分

∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM.

∵
，

∴直线AF
平面PEC. 　　 ………………6分

(Ⅱ)存在常数
，使得平面PED⊥平面PAB . 　　 …………………………………7分

∵
，
，
，∴
. 　 ………………………………8分

又∵∠DAB＝45°，∴AB⊥DE.

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB. 　　　　　 　　………………………………10分

又∵
，∴AB⊥平面PDE.

∵
，∴平面PED⊥平面PAB. …………………12分

(20) 解：(Ⅰ)
，
，
，

椭圆
方程为
. …………………………………………………2分

（Ⅱ）当切线的斜率
存在时，设切线方程为
. ………………3分

又因为
，故切线方程为
，
. ……5分

当
不存在时，切点坐标为
，切线方程为
，符合
.

综上，切线方程为
. ………………………………………………6分

（Ⅲ）设点
坐标为
，
是圆
的切线，切点
，过点
的圆的切线为
， 过点
的圆的切线为
.

两切线都过
点，
. ……………………8分

切点弦