哈尔滨三中2015年第一次模拟考试

数学试卷（理工类）答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

C

D

B

B

C

D

B

A

B

B



二、填空题：

13.
14.
15. 16.

三、解答题：

17.解：(Ⅰ)

，

，
． ………………………… 6分

(Ⅱ)
，
，

又
，
，

，
，
．………………………… 12分

18.解：(Ⅰ)
，

，即
，
是等差数列．………6分

(Ⅱ)
，
，………………………… 10分

，
．………………………… 12分

19. (Ⅰ)因为、分别是边
和
的中点，

所以
，

因为
平面
，
平面
，

所以
平面

因为
平面
，
平面
，平面
平面

所以

又因为
，

所以

. …………………………………… 4分

(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，

，
，
，

，
，
，

，
，

，
，

设平面
的一个法向量为
，则

，
，令
，解得
，
，则

设平面
的一个法向量为
，则

，
，令
，解得
，则

，

所以二面角
的余弦值为
…………………………… 8分

（Ⅲ）法（一）
，设

则
，解得
，

………………… 12分

法（二）取
中点
，连接
交
于点，连接
，
与
相似，

得
，易证
，所以
…………… 12分

20. 解: (Ⅰ)因为
的面积为
,所以
，……………2分

代入椭圆方程得
，

抛物线的方程是：
……………4分

(Ⅱ) 存在直线
:
符合条件

解：显然直线
不垂直于轴，故直线
的方程可设为
，

与
联立得
.

设
,则

.……………6分

由直线OC的斜率为

,故直线
的方程为
，与
联立得

，同理
，

所以

………8分

可得

要使
，只需
………10分

即

解得
，

所以存在直线
:
符合条件………………………… 12分

21.解：(Ⅰ)
，

，

，
． ………………………………4分

(Ⅱ)
，

设
，
，

，
在
上单调递增，

，
在
上单调递增，
．

．………………………………8分

（Ⅲ）设
，

，

(Ⅱ) 中知
，
，

，

①当
即
时，
，
在
单调递增，
，成立．

②当
即
时，
，

，令
，得
，

当
时，
，
在
上单调递减
，不成立．

综上，
．………………………………12分

22. (Ⅰ)由

，
，得
与
相似，

设
则有

，

所以
………………………………5分

(Ⅱ)
，

………………………………10分

23.解：(Ⅰ)直线
的普通方程为

曲线
的直角坐标系下的方程为

圆心
到直线
的距离为

所以直线
与曲线
的位置关系为相离. ……………5分

(Ⅱ)设
，

则
.……………10分

24. (Ⅰ)① 当
时，
，所以

② 当
时，
，所以为

③ 当
时，
，所以

综合①②③不等式的解集为
……………5分

(Ⅱ)即

由绝对值的几何意义，只需
…………………10分