2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）

数 学（理科）

沈阳命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 　金行宝

　　沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学　潘 戈

　　沈阳市回民中学　　庞红全　　　沈阳市第二十八中学　陶　慧

沈阳主审：沈阳市教育研究院 王恩宾

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．

3. 考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 设复数
（
是虚数单位），则
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

已知
=1,
=
，且

，则向量
与向量
的夹角为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4. 已知△
中，内角A，B，C的对边分别为
,若
，
，则△
的面积为（ ）

（A）
（B）1 （C）
（D）2

5. 已知
，
，则函数

为增函数的概率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为

，则判断框中填写的内容可以是( )

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的是某多

面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8. 已知直线
与抛物线

交于
两点，点
，若
，则实数
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9. 对定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数：① 对任意的
，恒有
；② 当
时，总有
成立，则下列函数不是
函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 在平面直角坐标系中，若
满足
，则当
取得最大值时，点
的坐标是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

11. 已知双曲线
与函数
的图象交于点
. 若函数
在点
处的切线过双曲线左焦点
，则双曲线的离心率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

12. 若对
，不等式
恒成立，则实数
的最大值是（ ）

（A）
（B）1 （C）2 （D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

13. 函数
(
)的单调递增区间是__________．

14.
的展开式中常数项为 ．

15. 已知定义在
上的偶函数
在
单调递增，且
，则不等式
的解集是 ．

16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为
、
，则
的值是 ．

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分)

已知数列
中，
，其前
项的和为
，且满足

.

(Ⅰ) 求证：数列
是等差数列；

(Ⅱ) 证明：当
时，
.

18. (本小题满分12分)

　　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝
，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点
分别为AB和PD中点.

(Ⅰ)求证：直线AF
平面PEC ；

(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.

19. (本小题满分12分)

　　某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

学生

1号

2号

3号

4号

5号



甲班

6

5

7

9

8



乙班

4

8

9

7

7



(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？

(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作
和
，试求
和
的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）

　　已知椭圆
:
的上顶点为
，且离心率为
.

　(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

　（Ⅱ）证明：过椭圆
:
上一点
的切线方程为
；

　 （Ⅲ）从圆
上一点
向椭圆
引两条切线，切点分别为
,当直线
分别与
轴、
轴交于
、
两点时，求
的最小值.

21.（本小题满分12分）

若定义在
上的函数
满足
，

，
R.

（Ⅰ）求函数
解析式；

（Ⅱ）求函数
单调区间；

（Ⅲ）若
、
、
满足
，则称
比
更接近
.当
且
时，试比较
和
哪个更接近
，并说明理由．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

　　如图所示，
为圆
的直径，
，
为

圆
的切线，
，
为切点.

　 （Ⅰ）求证：
；

　 （Ⅱ）若圆
的半径为2，求
的值.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）已知
，圆
上任意一点
，求△
面积的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
，
恒成立，求实数
的取值范围．

2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一．选择题

（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；

（9）D；（10）D；（11) A；（12）D．

二.填空题

（13）
；（14）
；(15)
；（16）
.

三.解答题

（17）解：（Ⅰ）当
时，
， …………………2分

.
，

从而
构成以1为首项，2为公差的等差数列. ………………………………6分

（Ⅱ）由（1）可知，
，
. ………8分

当
时，
. ……10分

从而
. …12分

（18）解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.

∵点F为PD中点，∴
. …………2分

∵
，∴
，

∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM， ……4分

∵
，

∴直线AF
平面PEC. 　　　　 　……………6分

(Ⅱ)
，
.

如图所示，建立坐标系，则

P(0,0,1),C(0,1,0),E(
,0,0),

A(
，
，0)，
，

∴
，
. …8分

设平面PAB的一个法向量为
.

∵
，
，∴
，取
，则
，

∴平面PAB的一个法向量为
. …………………………10分

设向量
∵
，

∴
，

∴PC平面PAB所成角的正弦值为
.　 　.…………………………12分

（19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………1分

甲班的方差
， …………3分

乙班的方差
， …………5分

因为
，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分

(Ⅱ)
可能取0,1,2

，
，
，

所以
分布列为：

0

1

2



P









数学期望
. …………………………………9分

可能取0,1,2

，