2015届百所示范性中学高三年级第一次大联考

理数试题部分评分细则

一、选择题

1．D　【解析】＝＝＝i(1－i)＝1＋i.

2．C　【解析】解得N＝{x|－3

3．A　【解析】由x与y正相关可排除C，又回归方程过点(，)，将＝3，＝3.5代入方程验算可知A正确．

4．B　【解析】由题可知能输出的函数是偶函数且存在零点，所以只有f＝cos x正确，f(x)＝x2＋1是偶函数但不存在零点，所以A不正确，f＝ex不是偶函数也不存在零点，所以C不正确，f＝不是偶函数也不存在零点，所以D不正确，综合可知只有B正确．

5．C　【解析】l1∥l2时，m＝，l2：3x＋4y＋8＝0，d＝＝＝2，选C.

6．C　【解析】由题意得a1＝3，a2＝7，a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，a8＝7，其循环周期为6，

则2 015÷6＝335…5，所以a2 015＝a5＝7.

7．B　【解析】因为a⊥b，所以2＋y＋z＝0，∴z＝2x＋y，由可行域可知函数在点有最大值3.

8. A 【解析】y＝siny＝siny＝sin＝sin，所以函数y＝sin的对称轴为2x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，令k＝0，x＝为函数y＝的一条对称轴．

9．C　【解析】由双曲线C1：x2－＝1，可得a1＝1，b1＝，c＝2.

设椭圆C2的方程为＋＝1，(a>b>0)．则－＝2a1＝2，＋＝2a，

∴2＝2a＋2，∵＝＝2c＝4，∴2×4＝2a＋2，a＝3.

则C2的离心率＝＝.

10．C　【解析】由三视图可知该几何体的底面形状为60°中心角为的扇形，其高为3，所以侧面积为2×3×2＋×3＝12＋2π.

11．A　【解析】因为exf(x)>ex＋3?exf－ex－3>0，设h＝exf－ex－3，则h′＝exf＋exf′－ex＝ex>0，所以h为增函数，又因为h＝0，所以h>0的解集为x>0.

12．D　【解析】设O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长AO交外接圆于D，AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝∠ABD＝90°，cos∠CAD＝，cos∠BAD＝，∴·＝·＝·－·＝－＝

b2－c2＝b2－＝b2－b＝－ ，∵c2＝2b－b2>0，∴0

二、填空题

13.

【解析】由题意得：l＝2，2πr＝π×2，r＝1，h＝＝，所以圆锥的体积为V＝hπr2＝.

14．6

【解析】设第Tr＋1项为常数项，则Tr＋1＝Cx2n－3r，∴2n－3r＝0，∴C＝15，

∵C＝C＝15，∴n＝6，r＝4.

15.

【解析】因为y＝x2，所以在第一象限有x＝，则在第一象限的阴影部分的面积

为dy＝0＝，所以概率为＝，故答案为.

16．e2

【解析】设数列{an}的公比q，则q>0，因为a3a4a5＝a＝1，所以a4＝1，

①当q>1时，则0

∵ln a1<0，所以等式不成立；

②当q＝1时，则a1＝a2＝…a6＝1，f (a1)＋f (a2)＋…＋f (a6)＝0≠2a1；

③当0a2>a3>a4＝1>a5>a6>0，∴f (a1)＋f (a2)＋…＋f(a6)＝a 1ln a1＝2a1，∴a1＝e2.

17题评分细则（共12分）

【解析】(1)由＝得sin Bcos A＝sin A－sin Acos B，(2分)

所以sin＝sin A，sin＝sin A，C＝A，(4分)

因此△ABC为正三角形．

∴∠A＝.(6分)

(2)设该三角形的边长为a，则

SOABC＝×1×2sin θ＋a2(8分)

＝sin θ＋(10分)

＝2sin＋.(11分)

显然当θ＝时＝.(12分)

18题评分细则（共12分)

【解析】(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是×1×20＝6个，(2分)

中度拥堵的路段个数是×1×20＝9.(4分)

(2) X的可能取值为0，1，2，3.(5分)

P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝.(9分)（每算对一个给1分）

所以X的分布列为

X

0

1

2

3



P











(10分)

E＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)

19题评分细则（共12分)

【解析】解法一：(1)以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，(1分)

则F(1，0，0)，E(1，1，0)，A(0，2，0)，C1(0，0，2)，

＝(0，－2，2)．(2分)

设G(0，2，h)，则＝(－1，1，h)．

∵AC1⊥EG，∴·＝0. (4分)

∴－1×0＋1×(－2)＋2h＝0.∴h＝1，即G是AA1的中点．(5分)

(2)设m＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则m⊥，m⊥.(6分)

所以令x＝1，则平面EFG的一个法向量为m＝(1，0，1)．(8分)

∵sin θ＝＝＝，(10分)

∴θ＝， 即AC1与平面EFG所成角θ为.(12分)

解法二：(1)取AC的中点D，连结DE、DG，则ED∥BC，(1分)

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.

又CC1⊥平面ABC，而ED?平面ABC，∴CC1⊥ED.

∵CC1∩AC＝C，∴ED⊥平面A1ACC1.(3分)

又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.(4分)

连结A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C∥DG.

∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点. (5分)

(2)取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF∥GM,

∴E、F、M、G共面．作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，C1H?平面BB1C1C，∴AC⊥C1H，(8分)

又AC∥GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM＝M，

∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ. (10分)

因为C1H＝，C1N＝，∴sin θ＝＝，∴θ＝. (12分)

20题评分细则（共12分)

【解析】(1)设M，P，Q，∵＝－，·＝0. (1分)

∴＝－，·＝0，(2分)

∴x′＝x，y′＝－y，3x＋yy′－y′2＝0，∴y2＝4x，(4分)

所以动点M的轨迹C是以为顶点，以为焦点的抛物线(除去原点). (5分)

(2)①当直线l与x轴垂直时，根据抛物线的对称性，有∠AED＝∠BED；(6分)

②当l与x轴不垂直时，依题意可设直线l的方程为y＝k，

设A，B，则A、B两点的坐标满足方程组，(7分)

消去x并整理得ky2－4y－4km＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－4m. (8分)

设直线AE和BE的斜率分别为k1，k2，则

k1＋k2＝＋＝

＝＝＝0，(10分)

∴tan∠AED＋tan＝0，∴tan∠AED＝tan∠BED.

∵0<∠AED<，0<∠BED<，∴∠AED＝∠BED. (11分)

综合①②可知∠AED＝∠BED.(12分)

21题评分细则（共12分)

【解析】(1)由题意a>0，f′(x)＝ex－a，

由f′(x)＝ex－a＝0得x＝ln a. (1分)

当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.

∴f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．(2分)

即f(x)在x＝ln a处取得极小值，且为最小值，

其最小值为f(ln a)＝eln a－aln a－1＝a－aln a－1.(3分)

f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f(x)min≥0. (4分)

设g(a)＝a－aln a－1，所以g(a)≥0.

由g′(a)＝1－ln a－1＝－ln a＝0得a＝1. (5分)

易知g(a)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，

∴g(a)在a＝1处取得最大值，而g(1)＝0.

因此g(a)≥0的解为a＝1，∴a＝1.(6分)

(2)由(1)知，对任意实数x均有ex－x－1≥0，即1＋x≤ex. (7分)

令x＝－(n∈N*，k＝0，1，2，3，…，n－1)，则0<1－≤e－.(8分)

∴≤＝e－k. (9分)

∴＋＋…＋