江西省重点中学协作体2015届高三第一次联考数学试卷

（理科）参考答案

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

A

D

B

C

C

A

D

D

C

B





……4分

……6分

（II）由余弦定理：
,

,所以
，所以
. ……9分

,当且仅当
等号成立.

面积的最大值为
. ……12分

18. 解：（1）中位数=55+20
=60……2分

平均数
……4分

（2）上半年中某一天的空气质量为优或良的概率为

～
……6分

……10分

X

0

1

2

3



P











X的分布列为

X的数学期望EX=
=1.2 ……12分

19. 解：（1）证明：E，F分别为PB，PC中点，∴BC∥EF，

又EF平面EFA，BC
平面EFA，

∴BC∥平面EFA

又BC平面ABC，平面EFA
平面ABC=

∴
∥BC ……5分

(2)
∥BC，
，

∴四边形AQBC为矩形

∴AQ=BC=3 ……6分

取AC的中点M，连接PM

∴PMAC

又平面
⊥平面
，平面

平面
=
，PM平面

∴
⊥平面

∴
、
、
两两垂直

以C为原点，分别以
、
、
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）

∴

∴
，

设平面
的法向量
，

则
，即

∴
，取
，则
，所以

又平面
的一个法向量
……10分

∴

所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
。 ……12分

20．

解：（1）设M（x，y），由
，得点B为线段AM的中点，

∴B（0，
），A（﹣x，0），

∴
=（﹣x，﹣
），
=（
，﹣
）．

由
=﹣
x+
=0，得y2=2x．

所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x； ……5分

（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，

∴PR直线的方程为
，整理得lPR：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，

∵圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，

∴
，

注意到x0＞2，化简得：
，

同理可得：
，

因此，b、c是方程
的两个不相等的实数根，……8分

根据根与系数的关系，化简整理可得
，

由此可得△PRN的面积为
，

∴当x0﹣2=
时，即当x0=4时，△PRN的面积的最小值为8． ……12分



21. 解：（1）
在R上恒成立

在R上恒成立

在R上恒成立 ……2分

……4分

方法一：

设
，
，则

又

……6分

设
，则
，

令
，得
，则

令
，得
，则

在R上恒成立

设

……10分

……12分

方法二：

设
，则
，

令
，得
，则

令
，得
，则

……12分

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.解：（Ⅰ）证明：
切⊙于点，

平分∠APE

，

………………5分

（Ⅱ）证明：

∽
，

同理
∽
，

………………10分

23.解 （I）l:
……2分

C:x2+2y2=2即
……4分

（II）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得

则
，
……7分

. ……10分

24.解：（1）由关于x的不等式：|2x-m|≤1 可得-1≤2x-m≤1，解得?
≤x≤
．由于整数解有且仅有一个值为1，

∴
∴
故整数的值为 2． ……5分