江苏省南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研测试

数学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1． 命题“
，
”的否定是“ ▲ ”．

【答案】
，

2． 设
(
为虚数单位，
，
)，则
的值为 ▲ ．

【答案】0

3． 设集合
，
，则
▲ ．

【答案】

4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．

【答案】11

5． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)

如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．

【答案】0.02

6． 若函数

的图象与
轴相邻两个交点间的距离为2，则实数
的值

为 ▲ ．

【答案】

7． 在平面直角坐标系
中，若曲线
在
(
为自然对数的底数)处的切线与直线

垂直，则实数
的值为 ▲ ．

【答案】

8． 如图，在长方体
中，
3 cm，
2 cm，
1 cm，则三棱锥

的体积为 ▲ cm3．

【答案】1

9． 已知等差数列
的首项为4，公差为2，前
项和为
．

若
(
)，则
的值为 ▲ ．

【答案】7

10．设
(
)是
上的单调增函数，则
的值为 ▲ ．

【答案】6

11．在平行四边形
中，

，则线段
的长为 ▲ ．

【答案】

12．如图，在△ABC中，
，
，
，点
在边
上，

45°，则
的值为 ▲ ．

【答案】

13．设
，
，
均为大于1的实数，且
为
和
的等比中项，则
的最小值为 ▲ ．

【答案】

14．在平面直角坐标系
中，圆
：
，圆
：
．

若圆
上存在一点
，使得过点
可作一条射线与圆
依次交于点
，
，满足
，

则半径r的取值范围是 ▲ ．

【答案】

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在四面体
中，平面

平面
，
90°．
，
，
分别为棱
，

，
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面

平面
．

证明：（1）因为
，
分别为棱
，
的中点，

所以
， …… 2分

又
平面
，
平面
，

故
平面
． …… 6分

（2）因为
，
分别为棱
，
的中点，所以
，

又
°，故
． …… 8分

因为平面

平面
，平面

平面
， 且
平面
，

所以
平面
． …… 11分

又
平面
，

平面

平面
． …… 14分

（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“
平面
”，扣1分．）

16．（本小题满分14分）

体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：

等级

优

良

中

不及格



人数

5

19

23

3





（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；

（2）测试成绩为“优”的3名男生记为
，
，
，2名女生记为
，
．现从这5人中

任选2人参加学校的某项体育比赛．

① 写出所有等可能的基本事件；

② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．

解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件
，“测试成绩为良”为事件
，“测试成绩为中”

为事件
，事件
，
是互斥的.　　 　　　 　　 …… 2分

由已知，有
．　　　　　　　 　　 　　　　　…… 4分

因为当事件
，
之一发生时，事件
发生，

所以由互斥事件的概率公式，得

．　　　　　　 　　…… 6分

（2）① 有10个基本事件：
，
，
，
，
，
，

，
，
，
． …… 9分

② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件
．在上述等可能的10个基本事件中，

事件
包含了
，
，
，
，
，
．　　　　　　　　

故所求的概率为
．　　　　　　　

答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为
；

（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为
．　　 　　　　　 　　　　　 ……14分

（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件
包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知向量
(1，0)，
(0，2).设向量
(
)
，

，其中
.

（1）若
，
，求x
y的值；

（2）若x
y，求实数
的最大值，并求取最大值时
的值.

解：（1）（方法1）当
，
时，
，
(
)， …… 2分

则

． …… 6分

（方法2）依题意，
， …… 2分

则

． …… 6分

（2）依题意，
，
，

因为x
y，

所以
，

整理得，
， …… 9分

令
，

则

. …… 11分

令
，得
或
，

又
，故
.

列表：

故当
时，

，此时实数
取最大值
. …… 14分

（注：第（2）小问中，得到
，
，及
与
的等式，各1分．）

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的左顶点为
，右焦点为

.
为椭圆上一点，且
.

（1）若
，
，求
的值；

（2）若
，求椭圆的离心率；

（3）求证：以
为圆心，
为半径的圆与椭圆的

右准线
相切.

解：（1）因为
，
，所以
，即
，

由
得，
，即
, …… 3分

又
，

所以
，解得
或
(舍去) ． …… 5分

（2）当
时,
，

由
得，
，即
，故
， …… 8分

所以
，解得
（负值已舍）． …… 10分

（3）依题意，椭圆右焦点到直线
的距离为
，且
，①

由
得，
,即
, ②

由①②得，
，

解得
或