高三数学理科参考答案

一、BCAAC DCABD CB

二、13．
14. -10 15.
16. 2

三、17. 解：（Ⅰ）

=
，

当且仅当
,即

时，
，

此时的集合是
. ……………… 6分

（Ⅱ）由
，所以
,

∴函数
的单调递增区间为
. ……… 12分

18.解：（Ⅰ）∵
(

当
时，
(

((得，
，即
（
）．

又当n=1时，
，得
．

∴数列
是以为首项，公比为的等比数列，

∴数列
的通项公式为
.

又由题意知，
，
，即

∴数列
是首项为，公差为的等差数列，

∴数列
的通项公式为
．……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴
(

④

由(④得

∴
 ∴
 ∴数列
的前项和
……………………………12分

19. 解：（Ⅰ）由直方图可得：

．

∴
． ..........................3分

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：

，

∵
，

∴1200名新生中有
名学生可以申请住宿.................... 6分

（Ⅲ）∵
的可能取值为

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于
分钟的概率为
，

,
,

,
,

． .................. 10分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4


















．（或
）

所以
的数学期望为． ................. 12分

20．解：（Ⅰ）由已知可得
解得a2＝6，b2＝2.

∴椭圆C的标准方程是
. ……………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为
.

∵TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为
，其方程为
.

当
时，
，所以点的坐标为
，

此时直线OT的斜率为
，其方程为
.

将M点的坐标为
代入上式，得
.

解得
. ………………………………………………12分

21.解.（Ⅰ）由
，得
.

又
，∴
.∴
，
.

由
，得
.

∴函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增. …………4分

(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知
.

∴
，即
，
.

令
，则
.

∴
在
上单调递增，∴
，

∴
.…………（8分）

(Ⅲ)首先证明：当
时，恒有
.

令
，则
.

由(Ⅱ)知，当
时，
，所以
，所以
在
上单调递增，

∴
，所以
.

∴
，即
.

依次取
，代入上式，则

，

，

.

以上各式相加，有

∴
，

∴
，

即
……………………………………12分

22. (Ⅰ)∵PA是圆O的切线 ∴
又
是公共角

∴
∽
…………………2分

∴
∴
………4分

(Ⅱ)由切割线定理得：
∴

又PB=5 ∴
………6分

又∵AD是
的平分线 ∴

∴
∴
………8分

又由相交弦定理得：
………10分

23．解：(Ⅰ)（方法一）曲线C的直角坐标方程为

即
∴曲线C是圆心为(3,0)，半径为2的圆.

∵直线l的方程为:
………3分

∵直线l与曲线C相切 ∴

即
………5分

∵ (([0,π) ∴(=
………6分

(法二)将
化成直角坐标方程为
……2分

由
消去
得
…………4分

∵
与C相切 ∴ Δ=64
-48=0 解得cos(=

∵ (([0,π) ∴(=
…………6分

(Ⅱ)设

则
=

………9分

∴
的取值范围是
. ………10分

24．解：(Ⅰ)∵
即
∴
………2分

又
当且仅当
时取等号.

∴
………5分

(Ⅱ)

………9分

∴ 满足条件的实数不存在. ………10分