2014-2015学年度高三数学质检二答案

（理科）

18. 解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有
，

3天中至少有2个A类天的取法种数
， ..... ....2分

所以这3天至少有2个A类天的概率为
； .............................. ..4分

19.解：（Ⅰ）证明：在侧面A1ABB1中，因为A1A=AB ，

所以四边形A1ABB1为菱形，所以对角线AB1⊥A1B，…………………………………2分

因为侧面A1ABB1⊥底面ABC，∠ABC=900，所以CB⊥侧面A1ABB1， 因为AB1平面A1ABB1内，所以CB⊥AB1，…………………………4分

又因为A1B∩BC=B，所以AB1⊥平面A1BC． …………………………………6分

（Ⅱ）在Rt△ABC中, AC=5, BC=3, 所以AB=4,

又菱形A1ABB1中,因为∠A1AB=600，所以△A1AB为正三角形,

如图，以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点OA1方向为x轴，OA方向为y轴，过O且与BC平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
，

所以
，
，设
为平面
的法向量，则
，所以
，令
，得
为平面
的一个法向量，…………………………………9分

又
为平面
的一个法向量，

，……………………………11分

所以二面角B—A1C—C 1的余弦值为
．…………………………………12分

20.解：（Ⅰ）由
得
，当
得
，

点的坐标为
，则
，
，

过点
的切线方程为
即
，………………………2分

令
得
，
。

即椭圆的方程为
。 ……………4分

（Ⅱ）解法一：椭圆的方程为
，
．

依题意有
，设
，由
得：
，………6分

（*）……………………………………8分

令
，
，
，
，则

， ……………………………………10分

当且仅当
，
时，等号成立。

∴
，

∴ 四边形
面积的最大值为
，

的方程为
.…………………………………12分

解法二：设
，则
，
，

。 ……………………………………6分

点到
的距离为
，

点到
的距离为
， …………………………………8分

，

令
，
，
，
，则

，当且仅当
，
时，等号成立。………10分

∴
，

∴ 四边形
面积的最大值为
，

的方程为
。 …………………………………12分

21.解：(Ⅰ)当
时，
，
.

设
，
，则
，于是
在
上为增函数. ………………2分

又
，所以，
有唯一零点
.

从而，函数
有唯一零点
. ………………4分

(Ⅱ) 欲证
，需证

若
有两个极值点
，即函数
有两个零点. 又
，所以，
是方程
的两个不同实根.

于是，有
.解之得，
.

另一方面，由
得，
，

从而可得，
.………………6分

于是，
.

又
，设
，则
.

因此，
，
.………………8分

要证

即证：
，
.即：

当
时，有
.

设函数
，
.………………10分

则
,

所以，
为
上的增函数.注意到，
.因此，
.

于是，当
时，有
.

所以，有
成立，即
.………………12分

22.选修4-1：几何证明选讲

证明：

（Ⅰ）如图：

直线PA与圆O相切于点A

………………………………………2分

…………………………4分

……………………………5分

（Ⅱ）直线PA与圆O相切于点A

…………………7分

…………………………9分

………………………10分

23.选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）消去参数可得
………………2分

…………………4分

（Ⅱ）

……………………6分

AB中垂线的参数方程
(1)

(2) ………………………8分

将（1）带入（2）中

……………………10分