2015年一模试卷

数 学(文科)

命题人： 安道波 周亚明 张军 李飞 王爽

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

球的体积公式：
，

第I卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

（1）已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设复数
（
是虚数单位），则
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知
，且
，则
为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知△
中，内角A，B，C的对边分别为
,
，
，则△
的面积为（ ）

（A）
（B）1 （C）
（D）2

(5)
是
成立的（ ）

（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为
，则判断框中填写的内容可以是( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的

是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）函数
对任意
都有

，则
等于( )

（A）
或
（B）
或
（C）
（D）
或

（9）在平面直角坐标系中，若
满足
，

则
的最大值是（ ）

（A）2 （B）8 （C）14 （D）16

（10）已知抛物线

的焦点为
，直线
与
交于
在
轴上方）两点．若
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）2 （D）3

（11) 若关于
方程
有且只有两个解，则 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数，① 对任意的
，总有
；

② 当
时，总有
成立，

则下列函数不是
函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

（13）函数
(
)的单调递增区间是__________，

（14）将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ，

(15) 已知定义在
上的偶函数
在
单调递增，且
，则不等式
的解集是 ，

（16）如图，半球内有一内接正四棱锥
，

该四棱锥的体积为
，则该半球的体积

为 .

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

（17）(本小题满分12分)

等差数列
的前
项和为
，且满足

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，求证：
.

(18)(本小题满分12分)

某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

学生

1号

2号

3号

4号

5号



甲班

6

5

7

9

8



乙班

4

8

9

7

7



(Ⅰ) 从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？

(Ⅱ)在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.

(19)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且
，点F为PD中点.

(Ⅰ)若
，求证：直线AF
平面PEC ；

(Ⅱ)是否存在一个常数
，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由，

(20) （本小题满分12分）

已知椭圆
:
的上顶点为
，且离心率为
，

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）证明：过圆
上一点
的切线方程为
；

（Ⅲ）从椭圆
上一点
向圆
上向引两条切线，切点为
,当直线
分别与
轴、
轴交于
两点时，求
的最小值.

(21)（本小题满分12分）

已知函数
，常数
.

（Ⅰ）若
，过点
作曲线
的切线
，求
的方程；

（Ⅱ）若曲线
与直线
只有一个交点，求实数
的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，
为圆
的直径，
，
为

圆
的切线，
，
为切点.，

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若圆
的半径为2，求
的值.

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）已知
，圆
上任意一点
，求
面积的最大值，

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
，
恒成立，求实数
的取值范围．

201５年大连市高三一模测试

数学（文科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；（5）A；（6）C；（7）D；（8）B；

（9）C；（10）D；（11) B；（12）D．

二.填空题

（13）
；（14）17；(15)
；（16）
.

三.解答题

（17）解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，

则由已知条件可得：
，………………3分

解得
，于是可求得
．………………6分

（Ⅱ）因为
，故
，………8分

于是
………………10分

又因为

，所以
，………………12分

(18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，………………1分

甲班的方差
，………………3分

乙班的方差
，……………5分

因为
，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分

(Ⅱ)甲班1到5号记作
，乙班1到5号记作
，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为

=
，
由25个基本事件组成，基本事件是等可能的；………………8分

将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件
，

则
，………………10分

由10个基本事件组成，

所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为
.…………12分

(19)解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.

∵点F为PD中点，∴
. ∵
，∴
，又
∥
∥

∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，

∵
，∴直线AF
平面PEC. ……………6分

(Ⅱ)存在常数
，使得平面PED⊥平面PAB ．…………8分

∵
，
，
，∴
， 又∵∠DAB＝45°，∴AB⊥DE.

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB.

又∵
，∴AB⊥平面PDE，

∵
，∴平面PED⊥平面PAB. …………………12分

(20) 解：(Ⅰ)
，
，

椭圆
方程为
.………………3分

（Ⅱ）当切线的斜率
存在时，设切线方程为

又因为
．………………4分

故切线方程为
，
．………………6分

当
不存在时，切点坐标为
，对应切线方程为
，符合
，

综上，切线方程为
．………………………………7分

（Ⅱ）设点
坐标为
，
是圆
的切线，切点
，过点
的圆的切线为
， 过点
的圆的切线为
．

两切线都过
点，
．

切点弦
的方程为
，由题知
，………………9分

，
，

………………10分

，当且仅当
，
时取等号，
，
的最小值为
.………………12分

(21) 解：（Ⅰ）设切点
为
，则
处的切线方程为
．………………2分

该直线经过点
，所以有
，化简得
，

解得
或
，所以切线方程为
和
.………………4分

（Ⅱ）法一：由题得方程
只有一个根，

设