2015年一模测试

数 学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

（1）已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设复数
（
是虚数单位），则
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知
，且
，则向量
与向量
的夹角为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知
中，内角A，B，C的对边分别为
,若
，
，则
的面积为（ ）

（A）
（B）1 （C）
（D）2

(5)已知
，
，则函数

为增函数的概率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为

，则判断框中填写的内容可以是( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的是某多

面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知直线
与抛物线

交于
两点，点
，若
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）对定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数，① 对任意的
，恒有
；② 当
时，总有
成立，则下列函数不是
函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）在平面直角坐标系中，若
满足
，则当
取得最大值时，点
的坐标是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（11) 已知双曲线
与函数
的图象交于点
，若函数
在点
处的切线过双曲线左焦点
，则双曲线的离心率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）若对
，不等式
恒成立，则实数
的最大值是（ ）

（A）
（B）1 （C）2 （D）

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

（13）函数
(
)的单调递增区间是__________．

（14）
的展开式中常数项为 ．

(15) 已知定义在
上的偶函数
在
单调递增，且
，则不等式
的解集是 ．

（16）同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为
、
，则
的值是 ．

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

（17）(本小题满分12分)

已知数列
中，
，其前
项的和为
，且满足

.

(Ⅰ) 求证：数列
是等差数列；

(Ⅱ) 证明：当
时，
.

（18）(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝
，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点
分别为为AB和PD中点.

(Ⅰ)求证：直线AF
平面PEC ；

(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.

（19）(本小题满分12分)

某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

学生

1号

2号

3号

4号

5号



甲班

6

5

7

9

8



乙班

4

8

9

7

7



(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？

(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作
和
，试求
和
的分布列和数学期望.

（20） （本小题满分12分）

已知椭圆
:
的上顶点为
，且离心率为
，.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）证明：过椭圆
:
上一点
的切线方程为
；

（Ⅲ）以圆
上一点
向椭圆
引两条切线，切点分别为
,当直线
分别与
轴、
轴交于
、
两点时，求
的最小值.

（21）（本小题满分12分）

若定义在
上的函数
满足
，

，

（Ⅰ）求函数
解析式；

（Ⅱ）求函数
单调区间；

（Ⅲ）若
、
、
满足
，则称
比
更接近
.当
且
时，试比较
和
哪个更接近
，并说明理由。

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，
为圆
的直径，
，
为

圆
的切线，
，
为切点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若圆
的半径为2，求
的值.

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）已知
，圆
上任意一点
，求
面积的最大值.

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
，
恒成立，求实数
的取值范围．

201５年大连市高三一模测试

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；（9）D；（10）D；（11) A；

（12）D．

二.填空题

（13）
；（14）
；(15)
；（16）
.

三.解答题

（17）解：（Ⅰ）当
时，
，

，从而
构成以1为首项，2为公差的等差数列。6分

（Ⅱ）由（1）可知，
，

当
时，

从而

（18）解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.

∵点F为PD中点，∴
. ∵
，∴
，

∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，

∵
，∴直线AF
平面PEC. ……………6分

(Ⅱ)
，

如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(
,0,0),

A(
，
，0)，

∴
，
.

设平面PAB的一个法向量为
.

∵
，
，∴
，取
，则
，

∴平面PAB的一个法向量为
.

∵
，∴设向量
∴
，

∴PC平面PAB所成角的正弦值为
..……………12分

（19）解：解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，

甲班的方差
，

乙班的方差
，

因为
，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定.

(Ⅱ)
可能取0,1,2

，
，
，

所以
分布列为：

0

1

2



P









数学期望

可能取0,1,2

，
，
，

所以
分布列为：

0

1

2



P











数学期望

（20）解：(Ⅰ)
，
，
，

椭圆
方程为
。 2分

（Ⅱ）法一：椭圆
:
，当
时，
，

故
，

当
时，
。 4分

切线方程为
，

，
。 6分

同理可证，
时，切线方程也为
。

当
时，切线方程为
满足
。

综上，过椭圆上一点