大庆市2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题

选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.若集合

A
B

C
D

2.已知复数
（其中i是虚数单位），则
=

A. 0 B.
C. －2i D. 2i

3.已知命题p:
则

A.
B.

C.
D.

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.6 B.
C.3 D.

5.将函数y=sinx的图像上所有点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

A.
B.
C.
D.

6.一直两个非零向量
，其中
为
的夹角，若

则
的值为

A.－8 B.－6 C.8 D.6

7.已知抛物线
的准线经过双曲线
的一个焦点，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

8.若
为等差数列，
是其前n项和，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

9.若x,y满足约束条件
则z=4x+3y的最小值为

A.20 B.22 C. 24 D.28

10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填

A．
B.
C.
D.

11.直线y=kx+3与圆
相交于M,N两点。若
，则k的取值范围是

A.
B.
C.
D.

12.不等式
的解集为P,且
，则实数a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活动，则他们选择相同小组的概率为 。

14.设函数
，若存在这样的实数
，对任意的
，都有
成立，则
的最小值为 。

15.奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，f(1)=2,则f(3)= 。

16.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数y=f(x)是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点。例如
是
上的平均值函数，0就是它的均值点。现有函数
是
上的平均值函数，则实数m的取值范围是 。

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)在
ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a=
,
.

(Ⅰ)若b=
，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2,求边b的长。

18. (本小题满分12分)已知各项均为证书的数列
前n项和为
，首项为
，且
是
和
的等差中项。

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前n项和
。

19. (本小题满分12分)如图：四棱柱
-
中，侧棱垂直与底面，
，E为CD上一点，DE=1,EC=3,

(Ⅰ)证明：
；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离。

20. (本小题满分12分)已知某单位由50名职工，将全体职工随机按1-50编号，并且按编号顺序平均分成10组，先要从中抽取10名职工，各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样。

(Ⅰ)若第五组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；

（Ⅱ）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的平均数；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从体重不轻于73公斤（
公斤）的职工中随机抽取两名职工，求被抽到的两名职工的体重之和等于154公斤的概率。

21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中，已知点
E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为
。

(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M,N.若点P在y轴上，且
，求点P的纵坐标的取值范围。

22. (本小题满分12分)已知函数
，且函数
的导函数为
，若曲线
和
都过点A(0,2)，且在点A 处有相同的切线y=4x+2.

(Ⅰ)求a,b,c,d的值；

（Ⅱ）若
时，
恒成立，求实数m的取值范围。

数学答案（文科）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

C

D

C

D

B

B

B

D

A

A



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
14．2 15．
16．

三．解答题（本题共6大题，共70分）

17（本小题满分10分）

解：（I）由正弦定理
，得
，解得
. . ………………………2分

由于
为三角形内角，
，则
， ………………4分

所以
， . . . ………………………5分

（II）依题意，
，即
，整理得
. …………7分

又
，所以
. ………………………10分

另解：

由于
,所以
，解得
, ……………7分

由于
，所以
， . . . . ………………………8分

由
，所以
.

由勾股定理
，解得
. . ………………………10分

18．（本小题满分12分）

解：（1）由题意知
， ……………………………1分

当
时，
； ……………………………2分

当
时，
，

两式相减得
，整理得：
， …………………5分

∴数列
是以
为首项，2为公比的等比数列.

， ………………………………6分

（Ⅱ）由
得
， ………………………………9分

所以，
，

所以数列
是以2为首项，
为公差的等差数列，

. ………………………………12分

19. （本小题满分12分）

解：（I）证明：过
作
的垂线交
于
，则

在
中，
，在
中，
.

在
中，因为
，所以
.

由
平面
，得
，所以
平面
. …………………… 6分

（II）三棱锥
的体积
，

在
中，

同理，

因此
. -------------------------- 10分

设点
到平面
的距离为
，则三棱锥
的体积

,从而
--------------------------12分

20．（本小题满分12分）

解： （I）由题意，第5组抽出的号码为22.

因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码依次分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. -------------------------- 4分

（II）这10名职工的平均体重为：＝×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71 ------------------------ 7分

（III）从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P＝. --------------------------12分

21. （本小题满分12分）

解：（I）设动点
的坐标为
,依题意可知
,

整理得
,

所以动点
的轨迹
的方程为
,………………4分

（II）当直线
的斜率不存在时,满足条件的点
的纵坐标为
； ………………………………5分

当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
.

将
代入
并整理得,

.

设
,
,则
,

设
的中点为
,则
,
,

所以
. ……………………………8分

由题意可知
,

又直线
的垂直平分线的方程为
.

令
解得
……………………………10分

当
时,因为
,所以
;

当
时,因为
,所以

综上所述,点
纵坐标的取值范围是
……………………12分

22. （本小题满分12分）

解：（I）由已知得
，

而

故
……………………………4分

（2）令
，

则

因
，则

令
得
………………………………6分

若
，则
，从而
时
；当
时
即
在
单调递减，在
单调递增，故
在
的最小值

故当
时
即
恒成立。 ………………………8分

若
，则
，从而当
时
，即
在
单调递增，而
，故当
时
即
恒成立。

若
，则