2015届高三年级第一次模拟考试

数学试题(理科)

（满分150分，考试时间120分钟）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．已知集合
，
，则集合

A．
B．
C．
D．

2．已知向量
，若
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3． 若命题
：
，则
：

A．
B．

C．
D．

4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为

A．a km B.a km

C．2a km D.a km

5．某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则判断框内应为

A．k＞5? B．k＞4?

C．k＞7? D．k＞6?

6．过点
可作圆
的两条切线，则实数
的取值范围为

A．
或
B．

C．
或
　 D．
或

7. 若
，若
的最大值为
，则
的值是

A．
　　 B．
　　C．
　　　　D．

8．函数
，若
，则下列不等式一定成立的是

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，其中
为实数，若
对
恒成立，

且
，则
的单调递增区间是

A．
B．

C．
　 D．

10．已知等比数列
的公比
且
，又
，则

A．
B．

C．
D．

11．已知椭圆
，
为其左、右焦点，
为椭圆
上任一点，
的重心为
，内心
，且有
（其中
为实数），椭圆
的离心率

A．
B．
C．
　 D．

12．已知函数
，其导函数为
．

①
的单调减区间是
； ②
的极小值是
；

③当
时，对任意的
且
，恒有

④函数
有且只有一个零点．其中真命题的个数为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．设
(其中e为自然对数的底数)，则
的值为 _________．

14．在平面直角坐标系
中，已知
的顶点
和
，顶点
在双曲线
上，则
为___________.　

15．设
是不等式组
表示的平面区域内的任意一点，向量
，若
，则
的最大值为 ．

16．已知函数
，若数列
满足
（
），且
是递增数列，则实数
的取值范围是 ___________．

三、解答题

17．(本小题满分10分)

已知
是函数
图象的一条对称轴．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）化简
的解析式，并作出函数
在
上的图象简图（不要求写作图过程）．

18．(本小题满分12分)

已知等差数列{
}的公差
，它的前n项和为
，若
，且
成等比数列，

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{
}的前n项和为
，求证：
．

19．(本小题满分12分)

在
中，内角
、
、
所对的边分别为
，其外接圆半径为6，
，

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求
的面积的最大值．

20．(本小题满分12分)

在直角坐标系
中，以原点
为圆心的圆与直线
相切．

（Ⅰ）求圆
的方程；

（Ⅱ）若已知点
，过点
作圆
的切线，求切线的方程．

21．(本小题满分12分)

已知函数
的图象在点
处的切线方程为
.

（Ⅰ）用
表示出
，
；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求
的取值范围．

22．(本小题满分12分)

已知椭圆
：
的一个焦点为
，左右顶点分别为
，
.

经过点
的直线
与椭圆
交于
，
两点.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线
的倾斜角为
时，求线段
的长；

（Ⅲ）记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值.

高三数学 (理科）参考答案及评分标准

一、选择题

1． D； 2． D；3． A；4． D；5． B；6． D ；7. A；8． A ；9． C ；10． A ；11．A ；12． C ．

二、填空题

13．
；14． ；15． 5 ；16．（2,3）．

三、解答题

17． (本小题满分10分)

解：（I）方法1：
， ………………2分

∵
是函数
图象一条对称轴，∴
， …………… 4分

即
，∴
； ………………6分

方法2：∵
，∴
最值是
，

………………2分

∵
是函数
图象的一条对称轴，∴
，

………………4分

∴
，

整理得
，∴
； ………………6分

（II）
………………7分

在
上的图象简图如下图所示． ………………10分

18．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由已知，
， ………………2分

又
成等比数列，

由
且
可

解得
， ………………4分

，

故数列{
}的通项公式为
； ………………6分

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)，
………………7分

， ………………9分

显然，
． ………………12分

19．(本小题满分12分)

(Ⅰ)解：
，

………………3分

，……………………6分

(Ⅱ)
，
即
.

又
. ………………………………8分

. ……………………10分

而
时，
. …………………………………………12分

20．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)设圆的方程为x2＋y2＝r2， …………………………1分

由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r＝＝2， ……………………3分

∴圆的方程是x2＋y2＝4； ………………………………4分

(Ⅱ) ∵|OP|＝＝>2，∴点P在圆外．

显然，斜率不存在时，直线与圆相离． ……………………………6分

故可设所求切线方程为y－2＝k(x－3)，

即kx－y＋2－3k＝0. ……………………………8分

又圆心为O(0,0)，半径r＝2，

而圆心到切线的距离d＝＝2，即|3k－2|＝2, ………………9分

∴k＝
或k＝0， …………………………………11分

故所求切线方程为12x－5y－26＝0或y－2＝0． ……………………12分

21．(本小题满分12分)

　 解： (Ⅰ)
， ………………………………………1分

由题设，则有
， …………………………3分

解得
. ………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，

令
，

则
， ………………………………………5分

……………7分

①当
，

若
，则
，
是减函数，

所以，当
时，有
， 即
，

故
在
上不能恒成立． ……………………………9分

②当
时，有

若
，则
，
在
上为增函数．

所以，当
时，
， 即
，

故当
时，
． ……………………………………11分

综上所述，所求
的取值范围为
……………………12分

22．(本小题满分12分)

解：（I）因为
为椭圆的焦点,所以
又

所以
所以椭圆方程为
…………………………3分

（Ⅱ）因为直线的倾斜角为
,所以直线的斜率为1,

所以直线方程为
,和椭圆方程联立得到

,消掉
,得到
…………………………5分

所以

所以
…………………………6分

（Ⅲ）当直线
无斜率时,直线方程为
,

此时
,
面积相等，
…………7分

当直线
斜率存在（显然
）时,设直线方程为
,

设

和椭圆方程联立得到
,消掉
得

显然
，方程有根，且
………………8分

此时

………………………………10分

因为
,上式
，（
时等号成立）

所以
的最大值为
………………………………12分

另解：（Ⅲ）设直线
的方程为：

，则

由
得，
．

设