本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（
非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第 Ⅰ 卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么 ·球的体积公式V球=
?R3，

P(A∪B)=P(A)+P(B)． 其中R表示球的半径．

·棱柱的体积公式V柱体=Sh，

其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）i是虚数单位，复数
=（ ）．

（A）–i （B）i　

（C）–
–
i （D）–
+
i

（2）已知实数x，y满足约束条件
，则目标函数z=x–2y的最小值是（ ）．

（A）0 （B）–6

（C）–8 （D）–12

（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x((A∩B)， 条件q：x((A∪B)，则p是q的（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）充要条件

（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长

为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的

表面积为（ ）．

（A）8+4
（B）8+4

（C）
（D）8+2
+2

（5）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–
y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双
曲线的方程为（ ）．

（A）4x2–12y2=1 （B）4x2–
y2=1

（C）12x2–4y2=1 （D）
x2–4y2=1

（6）函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是（ ）．

（A）(0，–2] （B）[–2，+∞)

（C）(–∞，–2] （D）[2，+∞)

（7）已知函数f(x)=sin?x–
cos?x（?＞0）的图象与x
轴的两个相邻交点的距离等于
，若将函数y=f(x)的图象向左平移
个单
位得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为（ ）．

（A）(–
，0) （B）(–
，
)

（C）(0，
)
（D）(
，
)

（8）已知函数f(x)=|mx|–|x–1|（m＞0），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（ ）．

（A）0＜m≤1 （B）
≤m＜

（C）1＜m＜
（D）
≤m＜2

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）

答 题 纸（文史类）

题 号[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]

二[来源:Zxxk.Com]

 三

总分[来源:学|科|网Z|X|X|K]







(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)





得 分



















第 Ⅱ 卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。



















（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为 ．

（10）已知公差
不为0的等差数列{an}中，a1，a2，a5依次成等比数列，则
= ．

（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= ．

（12）过点(–2，6)作圆x2+(y–2)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ．

（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2
，PO=8．则BD的长为 ．

（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且
=?
，
=?
．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则
?
= ．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得 分

评卷人

（15）（本小题满分13分）











组号

分组

频数

频率



第1组

[50，55)

5

0.050



第2组

[55，60)

①

0.350



第3组

[60，65)

30

②



第4组

[65，70)

20

0.200



第5组

[70，75]

10

0.100



合计

100

1.000



某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如右图所示．

（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；

（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？

得 分

评卷人

（16）（本小题满分13分）











在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4，C=2A．

（Ⅰ）求cosA及b的值；

（Ⅱ）求cos(
–2A)的值．

得 分

评卷人

（17）（本小题满分13分）











如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；

（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

得 分

评卷
人

（18）（本小题满分13分）











设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1?Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=bn?log3an，求数列{cn}的前n项和Tn．

得 分

评卷人

（19）（本小题满分14分）











已知椭圆C：
（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为
b．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

得 分

评卷人

（20）（本小题满分14分）











设函数f(x)=(x–1)2+alnx，a∈R．

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y–1=0垂直，求a的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)有两个极值点x1，x2且x1＜x2，求证：f(x2)＞
–
ln2．

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）

数学试卷（文史类）参考答案 2015.04

一、选择题：

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

 A

 C

 C

 A

 D

 B

 D

 B



二、填空题：

（9）60； （10）9； （11）2500；

（12）x–2y +6=0； （13）2
； （14）0

（16）解：（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理
=
=
，

得
=
， …………2分

因为C=2A，所以
=
，即
=
，

解得cosA=
． …………4分

在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2–2bccosA，

得b2–
b+7=0，解得b=3，或b=
．

因为a，b，c互不相等，所以b=
． …………7分

（Ⅱ）∵cosA=

，∴sinA=
，

∴sin2A=2sinAcosA=
，cos2A=2cosA2–1=–
， …………11分

∴cos(
–2A)=
cos2A+
sin2A=
． …………13分

（17）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=
．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC?平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC． …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，

∴AC⊥CP，AC⊥CE，

∴∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角． ………
…6分

∵PC=AB=2AD=2CD=2，

∴在△PCB中，可得PE=CE=
，

∴cos∠PCE=
=
．
…………9分

（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．

由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，

∵平面平面EAC∩平面PBC=CE，

∴PF⊥平面EAC，连接AF，

则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角． …………11分

由（Ⅱ）知CE=
，∴PF=
，

∴sin∠PAF =
=
，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
． …………13分

（18）解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3n–1． ………… 2分

∵2bn–b1=S1?Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1?S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1． ………… 4分

∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，

∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2n–1． …………7分

（Ⅱ）cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1， ………… 8分

Tn=0?20+1?21+2?22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①

2Tn= 0?21+1?22+2?23+……+(n–2)2n–1+(n–1)2n ……②

①–②得：–Tn=0?20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n

=2n–2–(n–1)2n =–2–(
n–2)2n

∴Tn=(n–2)2n+2． ………… 13分

（19）解：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=
ab，

∴椭圆C的离心率e=
=
． …………3分

（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2
，∴椭圆方程为
． …………5分

联立方程组

化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，

由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞

由韦达定理得：xM+xN=
…①，xMxN=
…② …………7分

设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，

MB方程为：y=
x–2，……③

NA方程为：y=
x+2，……④ …………9分

由③④解得：y=
…………11分

=
=
=1

即yG=1，

∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上． …………14分

（20）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，+∞)， …………1分

f((x)=2x–2+
=
， …………2分

∵曲线y=f
(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y–1=0垂直，

∴f((1
)=a=2． …………4分

令g(x)=2x2–2x+a，则△=4–8a．

①当△≤0，即a≥
时，g(x)≥0，从而f((x)≥0，

故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增； …………6分

②当△＞0，即a＜
时，g(x)=0的两个根为x1=
，x2=
＞
，当
，即a≤0时，x1≤0，当0＜a＜
时，x1＞0．

故当a≤0时，函数f(x)在(0，
)单调递减，在(
，+∞)单调递增；当0＜a＜
时，函数f(x)在(0，
)，(
，+∞)单调递增，在(
，
)单调递减． …………9分