本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第 Ⅰ 卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么

P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A)?P(B)．

·棱柱的体积公式V柱体=Sh， ·球的体积公式V球=
?R3，

其中S表示棱柱的底面积， 其中R表示球的半径．

h表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）i是虚数单位，复数
=（ ）．

（A）–i （B）i　

（C）–
–
i （D）–
+
i

（2）已知实数x，y满足约束条件
，则目标函数z=x–2y的最小值是（ ）．

（A）0 （B）–6

（C）–8 （D）–12

（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x((A∩B)， 条件q：x((A∪B)，则p是q的（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）充要条件

（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–
y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（ ）．

（A）4x2–12y2=1 （B）4x2–
y2=1

（C）12x2–4y2=1 （D）
x2–4y2=1

（5）函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是（ ）．

（A）(0，–2] （B）[–2，+∞)

（C）(–∞，–2] （D）[2，+∞)

（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三

视图，则此棱锥的体积为（ ）．

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=
，则内角C=（ ）．

（A）

（B）

（C）
（D）
或

（8）已知函数f(x)=|mx|–|x–n|（
0＜n＜1+m），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（ ）．

（A）3＜m＜6 （B）1＜m＜3

（C）0＜m＜1 （D）–1＜m＜0

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）

答 题 纸（理工类）

题 号

二[来源:学#科#网]

 三

总分[来源:学科网ZXXK]







(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)





得 分



















第 Ⅱ 卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。











（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为 ．

（10）已知a＞0，(x–
)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x–
)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）．

（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=
．

（12）已知在平
面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：
（?为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：
cos?–sin?=0，则圆C截直线l所得弦长为 ．

（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于
A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2
，PO=8．则BD的长为 ．

（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且
=?
，
=?
．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则
?
= ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得 分

评卷人

（15）（本小题满分13分）











设函数f(x)=cos(2x+
)+2cos2x，x∈R．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；

（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移
个单位长度后得到函数g(x)的图
象，求函数g(x)在区间
上的最小值．

得 分

评卷人

（16）（本小题满分1
3分）











将编号为1，2，3，4的4个小球
随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．

（Ⅰ）求编号为1， 2的小球同时放到A盒的概率；

（Ⅱ）设随机变量?为放入A盒的小球的个数，求?的分布列与数学期望．

得 分

评卷人

（17）（本小题满分13分）











如图，在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，

PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为
，求直线

PA与平面EAC所成角的正弦值．

得 分

评卷人

（18）（本小题满分13分）











已知椭圆C：
（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为
b．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

得 分

评卷人

（19）（本小题满分14分）











设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1?Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=bn?log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；

（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有
+
+…+
＜
．

得 分

评卷人

（20）（本小题满分14分）











已知函数f(x)=
，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0．

其中e =2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）如果当x≠0时，f(2x)＜
，求实数k的取值范围．

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）

数学试卷（理工类）参考答案 2015.04

一、选择题：

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

 A

 C

 C

 D

 B

 A

 B

 B



二、填空题：

（9）60； （10）1； （11）2500；

（12）2
； （13）2
； （14）0

三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=cos(2(x–
)+
)+1=cos(2x–
)+1． …………10分

因为0≤x≤
，

所以–
≤2x–
≤
，

所以–
≤cos(2x–
)≤1， …………12分

因此
≤cos(2x–
)+1≤2，即f(x)的取值范围为[
，2]． …………13分

（16）解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，

P=
=
． …………4分

（Ⅱ）?=1，2， ………… 5分

P(?=1)=
=
，

P(?=2)=
=
，

?

1

2



P







所以?的分布列为

?????????????

????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????…………11分

?的数学期望E(?)=1×
+2×
=
． …………13分

（17）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=
．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC?平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC． …………5分

（Ⅱ）如图，以点C为原点，
，
，
分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．

设P(0，0，2a)（a＞
0），则E(1，–1，a)，
=(2，2，0)，
＝(0，0，2a)，
=(1，–1，a)．

取m=(1，–1，0)，则m·
=m·
=0，m为面PAC的法向量．

设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·
=n·
=0，

即
，取x=a，y=–a，z=–2，则n=(a，–a，–2)，

依题意，|cos|=
=
=
，则a=2． …………10分

于是n=(2，–2，–2)，
=(2，2，–4)．

设直线PA与平面EAC所成角为?，

则sin?=|cos<
，n>|=
=
，

即直线PA与平面EAC所成角的正
弦值为
． …………13分

（18）解：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=
ab，

∴椭圆C的离心率e=
=
． …………3分

（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2
，∴椭圆方程为
． …………5分

联立方程组

化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，

由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞

由韦达定理得：xM+xN=
…①，xMxN=
…② …………7分

设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，

MB方程为：y=
x–2，……③

NA方程为：y=
x+2，……④ …………9分

由③④解得：y=
…………11分

=
=
=1

即yG=1，

∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上． …………13分

（19）解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3n–1． ………… 2分

∵2bn–b1=S1?Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1?S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1． ………… 3分

∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，

∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2n–1． …………5分

（Ⅱ）cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1， ………… 6分

Tn=0?20+1?21+2?22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①

2Tn= 0?21+1?22+2?23+……+(n–2)2n–1+(n–1)
2n ……②

①–②得：–Tn=0?20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n

=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n

∴Tn=(n–2)2n+2． ………… 10分

（Ⅲ）
=
=
=
≤

+
+…+

＜
+
+…+
=

=
(1–
)＜
． …………14分

（20）解：（Ⅰ）f((x)=
， ………1分

由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0，

知1+(e–1)2 f(1)–e=0，即f(1)=
=
，

f((1)=
=
=–
． ………3分

解得a=b=1． ………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=
，

所以f(2x)＜
(
＜
(
–
＜0

(
[xex–
(e2x–1)]＜0． ………7分

令函数g(x)=xex–
(e2x–1)（x∈R），

则g((x)=ex+xex–(1–k)e2x=ex(1+x–(1–k)ex)． ………8分

（ⅰ）设k≤0，当x≠0时，g((x)＜0，∴g(x)在R单调递减．而g(0)=0，

故当x∈(–∞，0)时，g(x)＞0，可得
g(x)＜0；

当x∈(0，+∞)时，g(x)＜0，可得
g(x)＜0，

从而x≠0时，f(2x)＜
．

（ⅱ）设k≥1，存在x0＜0，当x∈(x0，+∞)时，g((x)＞0，g(x)在(x0，+∞)单调递增．