2015年石景山区高三统一测试数 学（文）

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．

1．已知集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．函数
的图象（ 　）

A．关于
对
称 B．关
于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于
对称

窗口

1

2

过道

3

4

5

窗口





6

7



8

9

10







11

12



13

14

15







16

17



…

…

…





3．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且
有一个靠窗，已知火车上

的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）

A．48，49 B．62，63  C．75，76 D．84，85





















































































4．如图，在
的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量

满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．阅读右面的程序框图，若输出的
，

则输入的
的值可能为（ ）

A．
　 B．

C．
　 D．

6．函数
（其中
）

的图象如右图所示，则函数

的大致图象是（ ）

A B C D

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线

画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，

最长的棱的长度为（ ）

A．
B．

C．
D．

8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 点M在棱AB上，且AM
，点P是平面

ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离 与点P到点M的距离的平方差为1， 则动点P的轨迹是（ ）

A．圆 B．抛物线 C
．双曲线 D．椭圆

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知角
的终边经过点
，且
,则
的值为 ．

10．设变量
满足约束条件
，则
的最大值为 ．

11．有甲
、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知点

A
，B
，C
，分别以△ABC的边
向外作正方形
与
，则直线
的一般式方程为 ．

13．某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，

操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操

一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该
设计成 米．

14．已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①
；　　 ②
；

③
； ④
．

其中是“垂直对点集”的序号是 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应
写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

设数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
为等比数列，且
，求数列
的前n项和
．

16．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
，

．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值；

（Ⅲ）若
，求△ABC的面积．

17．（本小题满分13分）

已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例
如
：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．

A

B

C



A

7

20

5



B

9

18

6



C

a

4

b



（Ⅰ）求抽取的学生人数；

（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；

（Ⅲ）已知
，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率.

18．（本小题满分14分）

如图，已知AF
平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，
DAB
，AB//CD，AD
AF
CD
2，AB
4．

（Ⅰ）求证：AC
平面BCE；

（Ⅱ）求三棱锥A
CDE的体积；

（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM
CE ?

若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆C：
的离心率
，短轴的右端点为B， M（1，0）为线段OB的中点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点M任意作一条直线与椭圆C相交于两点P，Q

试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM =∠QNM ？

若存在，求出点N的坐标；
若不存在，说明理由．

20．(本小题满
分13 分)

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若
，且关于x的方程
在
上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正数的数列
满足
，求证：
.