七模理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

B

B

D

C

B

D

B

C

B



【解析】

7．
k=2，2<5？是；
k=3，3<5？是；

k=4，4<5？是；
k=5，5<5？否，∴
，故选C．

8．求得交点
，
，
，∴
，
，
，∵

∴
，∴
，∴
，故选B．

9．在空间四边形ABCD中，取AC的中点为O，连接OB，OD，则
，R=OA=OB=OC=OD=2，V=
，故选D．

10．F(1，0)，准线为x?=-1，设准线与x轴的交点为H，在△AHF中，HF=2，

又AP=PF，则△PAF为等边三角形，PF=AF=4，故选B．

11．
，令
，直线
过定点
，

设直线
与
的切点为
，由于
，所以切线斜率
，当
时，直线
与
的图象有2个交点，故选C．

12．由
得
，即
为R上的减函数，所以
，由
，得
，即
，解得
或
，又
，所以
，故
，数列
即
，其前项和为
，整理得
，解得
，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号

13

14

15

16



答案

15









【解析】

13．由
得n=6，应用二项式定理，得展开式的常数项为
．

14．由已知，得
，于是
．

15．由
，得
，则面积为

，于是概率为
．

16．由函数
，得
，则
，令
，得
，代回原函数，得
，故对称中心为
．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：连接AC，

∵四边形ABCD为平行四边形，且E为BD的中点，∴AC∩BD=E，∴E为AC的中点．

又∵F为PC的中点，∴EF是△PAC的中位线，∴EF∥PA．

又∵PA平面ADP，EF平面ADP，

∴EF∥平面ADP．…………………………………（ 4分）

（Ⅱ）解：如图1，连接AM和DM，∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AD，且PD⊥BD，

又∵AD⊥BD，

∴AD⊥平面PDB，

又∵
平面PDB，

∴AD⊥MD，

又∵AD⊥BD，

∴∠MDB是二面角
的平面角，∴∠MDB=45°．…………………………（8分）

在△PDB中，∵PD⊥BD，PD=BD，∠MDB=45°，

∴M是PB的中点，∴
．…………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）甲、乙两班数学样本成绩的中位数分别是72分、70分．………………（2分）

（Ⅱ）
，

，

∴甲、乙两班数学样本成绩的平均值分别是71分、70分．…………………………（6分）

（III）ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为
，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为
，
，

，

，

，

，

∴ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4



P













……………………………………………………………………………………（11分）

．……………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）在
中，由
，
，

得
是等边三角形，则
，

于是椭圆C的离心率
．………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由
，得
，则
，于是椭圆：
．

又由右焦点
及斜率
，得直线
．

联立，得
消去，得
．

运用韦达定理，得
．…………………………………………（8分）

设
，且
，

则

，

而
，即
，于是
．

所求椭圆的方程为
．……………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
．

……………………………………………………………………………………（2分）

（Ⅱ）证明：由
有意义知
，所以
，令
，
，因为
成立，所以
成立，所以
，即
在
上是增函数．

所以
，所以
，

即曲线
与
=
没有公共点．…………………………………………（6分）

（Ⅲ）解：当
或
时，
，故
．

当
时，函数
的图象在点
处的切线方程为

，即
．

当
时，函数
的图象在点
处的切线方程为
，即
，两切线重合的充要条件是
由①及
，知
．

由①②得，

．

设
，则
．

所以，
在
上是减函数，则
，所以
．

又当
且趋近于
时，
无限增大，所以的取值范围是
．

故当函数
的图象在点、处的切线重合时，的取值范围是
．

……………………………………………………………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

证明：（Ⅰ）如图2，∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC（两直线平行内错角相等），

又∵∠ADB=∠ACB（同弧所对圆周角相等），

∴∠DBC=∠ACB．

在△ABC和△DCB中，

∵∠BAC=∠CDB（同弧所对圆周角相等），

BC= BC，

∠DBC=∠ACB（已证），

∴△ABC≌△DCB．………………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）在△AED和△BAC中，

∵AC∥ED（已知），

AD∥BC（已知），

∴∠ADE=∠BCA，

∠EAD=∠ABC，

∴△AED∽△BAC，∴
，

∴
．

又由（Ⅰ）知△ABC≌△DCB，

∴AB=DC，AC=BD，

∴DE·DC＝AE·BD．……………………………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）依题意可得直线l的直角坐标方程为
，

曲线C的普通方程为
．………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）设
，则点P到直线l的距离

，故当
时，
．

……………………………………………………………………………………（10分）

24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】

（Ⅰ）解：因为
，所以
等价于
，

由
有解，得
，且其解集为
．

又
的解集为
，故k=1．……………………………………………（5分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
+
+
=1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得

．

………………………………………………………………………………………（10分）