201５年哈尔滨市高三二模测试

数学（文科）参考答案与评分标准

一．选择题

（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5) A；（6）C；（7）D；（8）B；

（9）C；（10）D；（11) B；（12）D．

二.填空题

（13）
；（14）17；(15)
；（16）
.

三.解答题

（17）解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，则由已知条件可得：
，

……………2分

解得
，……………4分

于是可求得
，……………6分

（Ⅱ）因为
，……………7分

故
， ……………8分

……………10分

又因为

，……………11分

所以
，……………12分

(18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，..……………2分

甲班的方差
，..……………3分

乙班的方差
，..……………4分

因为
，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定. ..……………6分

(Ⅱ)甲班1到5号记作
，乙班1到5号记作
，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为

=
，由25个基本事件组成，这25个是等可能的；..……………8分

将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作，

则
，由10个基本事件组成，..……………10分

所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为
...……………12分

(19)(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.
∥
……………1分

∵点F为PD中点，∴
. ∵
，∴
，

∴AEMF为平行四边形，……………2分

∴AF∥EM，……………3分

∵
，

∴直线AF
平面PEC. ……………5分

(Ⅱ)
……………7分
……………9分

……………10分

所以存在常数
……………12分

(20) 解：(Ⅰ) (Ⅰ)
，..……………1分

，
，..……………3分

椭圆
方程为
..……………4分

（Ⅱ）当切线的斜率
存在时，设切线方程为

又因为
..……………5分

故切线方程为
，

.……………6分

当
不存在时，切点坐标为
，切线方程为
，符合
，

.……………7分

综上，切线方程为
.……………8分

（Ⅲ）设点坐标为
，
是圆
的切线，切点
，过点的圆的切线为
， 过点的圆的切线为

两切线都过点，
切点弦
的方程为
，.……………9分

由题知
，

，
，.……………10分

，当且仅当
，
时取等号，.……………11分

，
的最小值为
..……………12分

(21) 解：（Ⅰ）设切点为
，则处的切线方程为
。.……………1分

该直线经过点
，所以有
，化简得
，

解得
或
，.……………3分

所以切线方程为
和
..……………4分

（Ⅱ）由题得方程
只有一个根，

设
，则
，因为
所以
有两个零点
，即
（
），且
，
，

..……………5分

不妨设
，所以
在
单调递增，在
单调递减，

为极大值，
为极小值，..……………6分

方程
只有一个根等价于
且
，或者
且
，..……………7分

又
，

设
，所以
，所以
为减函数，

又
，所以
时
，
时
，..……………9分

所以
大于或小于，由
知，

只能小于，..……………10分

所以由二次函数
性质可得
，

且
..……………11分

所以
...……………12分

(22) 解：（1）连接
，

是直径，
..……………1分

设
≌
..……………2分

同理
≌
..……………4分

原题得证..……………5分

(2)
,
,..……………6分

又
∥

.，
.……………7分

∽
..……………8分

..……………9分

所以所求圆的半径为2..……………10分

(23)解：（1）圆
的参数方程为
（
为参数）

所以普通方程为
..……………2分

圆
的极坐标方程：
..……………5分

（2）点
到直线

的距离为

..……………7分

的面积
|

..……………9分

所以
面积的最大值为
..……………10分

(24) 解：（1）
，..……………1分

当
..……………2分

当
..……………3分

当
..……………4分

综上所述
．..……………5分

（2）易得
，..……………7分

若
，
恒成立，

则只需
，..……………9分

综上所述
．------------------------------10分