本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

导数公式： 若
，则
；

若
，则
．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，则
中元素的个数为

A．5 B．6 C．7 D．8

2．已知复数
，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．“
”是 “
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．双曲线

的离心率为

A.
B.
C.2 D.

5．已知
，若
，则
的值为

A.
B. 2 C.
D.

6．已知函数

的图象经过点
，则其反函数的解析式为

A.
B.
C.
D.

7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了

解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取

40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为

A.8 B.12 C.20 D.30

8．不等式组
表示的平面区域的面积为

A. 14 B.5 C. 3 D. 7

9．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是

A.若
； B.若
；

C.若
； D.若
.

10. 对任意的、
，定义：
=
；
=
.

则下列各式中恒成立的个数为

①
②

③
④

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11－13题）

11．不等式
的解集为 ．

12．在△ABC中，
的对边分别为
，若
，
，
，

则
．

13．已知函数
对应的曲线在点
处的切线与轴的交点为
，

若
，则
．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线

被圆
截得的弦长为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE、CF分别为钝角

△ABC的两条高，已知

则BC边的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.(本小题满分12分)

已知函数
的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）若
，
，求
的值.

17.(本小题满分12分)

图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图.

（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；

（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？

18．（本小题满分14分）

如图5，已知
中，
，

，
⊥平面
，、分别是
、
的中点．

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）设平面

平面
，求证
；

（3）求四棱锥B-CDFE的体积V．

19. (本小题满分14分)

已知
为数列
的前项和，
（
），且
．

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）求证：
．

20. (本小题满分14分)

已知抛物线
：
的焦点为，点是直线
与抛物线
在第一象限的交点，且
.

（1）求抛物线
的方程；

（2）设直线
与抛物线
有唯一公共点
，且直线
与抛物线的准线交于点
,试探究，在坐标平面内是否存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
？若存在，求出点
的坐标，若不存在，说明理由.

21. (本小题满分14分)

已知函数
，
，其中
．

（1）若函数
，当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
在区间
上为减函数，求的取值范围；

（3）证明：
．

揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试

数学(文科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

15．依题意得
，因△BEA∽△CFA得
,所以


．

三、解答题：

16．解：（1）由
得
----------------------------------------------------2分

（2）解法1：由
得
-----------------------3分

∵
，∴
， --------------------------------------------4分

∴
-----------------------------------------6分

∴
----------------------------------------------------8分

----------------------------------------10分

----------------------------------------------------12分

17．解：（1）

[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----9分

∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，-----------------10分

由（1）知EF⊥平面ABC，

∴

------12分

.----------------14分]

（3）证明：由（2）知
-----------------------------------10分

--------------------------------------------------12分

，

命题得证．---------------------------------------------------------------------14分

（2）解法1：由抛物线C关于轴对称可知，若存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
，

则点
必在轴上，设
，--------------------------------------------------6分

又设点
，由直线
与抛物线
有唯一公共点
知，直线
与抛物线
相切，

由
得
，∴
，---------------------------------------7分

∴直线
的方程为
，--------------------------------------------8分

令
得
，∴
点的坐标为
，-----------------------------9分

--------------------------------------10分

∵点
在以
为直径的圆上，

∴
--------------12分

要使方程
对
恒成立，必须有
解得
，-------------------------13分

∴在坐标平面内存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
，其坐标为
．--------14分

④⑤联立解得
或
，-----------------------------------------------12分

∴在坐标平面内若存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
，则点
必为
或
，

将
的坐标代入③式得，

左边=

=右边，

将
的坐标代入③式得，

左边=
不恒等于0，------------------------------------13分

∴在坐标平面内是存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
，点
坐标为为
．--14分]

（2）解法1：∵函数
=
在区间
上为减函数

∴
在
上恒成立
在
上恒成立，----5分

设
，则
---7分

当
时，
，

所以
在
上恒成立，即函数
在
上单调递减，-------------------8分

∴当
时，
，

∴
.-----------------------------------------------------------------------9分