本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，则
中元素的个数为

A．8 B．7 C．6 D．5

2．已知复数
，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3． “
”是 “
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．已知双曲线

的一条渐近线的斜率为
，则该双曲线的离心率为

A.
B.
C.2 D.

5．不等式组
表示的平面区域的面积为

A. 7 B.5 C. 3 D.14

6．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是

A.若
； B.若
；

C.若
； D. 若
；

7．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为

A. 48 B. 24 C. 20 D. 12

8．非空数集如果满足：①
；②若对
有
，则称是“互倒集”.给出以下数集：

①
； ②
； ③
；

④
.其中“互倒集”的个数是

A.4 B. 3 C.2 D. 1

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．已知
，若
，则
的值为 ．

10．已知函数

的图象经过点
，则其反函数的解析式= ．

11．在△ABC中，
的对边分别为
，若
，
，
，则
______ ．

12．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是
，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记
，结果用含的代数式表示）

13．已知函数
对应的曲线在点
处的切线与轴的交点为
，若
，则
．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线
被圆
截得的弦长

为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图1，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知

则BC边的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.(本小题满分12分)

已知函数
的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）若
，
，求
的值.

17.(本小题满分12分)

图2是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图.

（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设
是此人停留期间空气质量优良的天数，求
的数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图4，已知
中，
，

，
⊥平面
，、分别是
、
的中点．

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）求四棱锥B-CDFE的体积V；

（3）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．

图4

19. (本小题满分14分)

已知
为数列
的前项和，
（
），且
．

（1）求
的值；

（2）求数列
的前项和
；

（3）设数列
满足
，求证：
．

20. (本小题满分14分)

在平面直角坐标系
中，已知点
，点在直线
上，点
满足
，
，点
的轨迹为曲线
.

（1）求
的方程；

（2）设直线
与曲线
有唯一公共点，且与直线
相交于点
,试探究，在坐标平面内是否存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
？若存在，求出点
的坐标，若不存在，说明理由.

21. (本小题满分14分)

已知函数
，
，其中
,（e≈2.718）．

（1）若函数
有极值1，求的值；

（2）若函数
在区间
上为减函数，求的取值范围；

（3）证明：
．

揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

二、填空题：9.
；10.
；11.
；12.
；13. 3；14.
；15.
.

解析：12.所求概率

.

13.由
得曲线的切线的斜率
，故切线方程为
，令
得

，故数列
是首项
，公比
的等比数列，又

，所以
.

[解法2：由
得
，--------------------------3分

即
-------------------------------------------------5分

-----------------------①---------------------------------6分

将①代入
并整理得
，---------------8分

解得：
，-------------------------②----------------10分

∵
∴
，∴
，故②中负值不合舍去，----------------11分

∴
.-----------------------------------------------------------12分]

18.（1）证明： AB⊥平面BCD，
平面

，-------------------1分

又
，
，
平面
，------------------------------2分

又E、F分别是AC、AD的中点，∴
---------------------------------------3分

∴EF⊥平面ABC

又
平面BEF，平面BEF⊥平面ABC-----------4分

（3）解法1：以点C为坐标原点，CB与CD所在的直线分别为x、y轴建

立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分

则
,

∴
,
,---------------10分

设平面BEF的一个法向量为
，由
得

令
得
，∴
，------------------12分

∵
是平面BCD的法向量，

设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角大小为
，

则
,

∴所求二面角的余弦值为
．---------------------------------------------------14分

19.解：（1）由
和
可得
--------------------2分

（2）解法1：当
时，由

得
，---------------------------------4分

---------------------6分

∴数列
是首项
，公差为6的等差数列，

∴
-------------------------------------------------------7分

∴
-----------------------------------------------------8分

[解法2：当
时，由
------------------4分

可得

,---------------------------------6分

∴数列
是首项
,公差为3的等差数列，

，即
.--------------------------------------8分]

（2）解法1：由曲线C关于轴对称可知，若存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
，

则点
必在轴上，设
，--------------------------------------------------6分

又设点
，由直线
与曲线
有唯一公共点知，直线
与曲线
相切，

由
得
，∴
，---------------------------------------7分

∴直线
的方程为
，--------------------------------------------8分

令
得
，∴
点的坐标为
，-----------------------------9分

---------------------------------------10分

∵点
在以
为直径的圆上，

∴
---------------12分

要使方程
对
恒成立，必须有
解得
，-------------------------13分

∴在坐标平面内存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
，其坐标为
．---------14分

②③联立解得
或
，-----------------------------------------------12分

∴在坐标平面内若存在点
，使得以