茂名市2015年第二次高考模拟考试

数学试卷（文科）参考答案及评分标准

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

C

A

B

A

D

B

D

D



提示：9、抛物线
与双曲线
有相同的焦点
点的坐标

为（1，0）
，
⊥轴.设点在第一象限，则点坐标为（1,2）设左焦点为
,则
=2,由勾股定理得

,由双曲线的定义可知
.

10、因为
且
，即
在
是增函数，所以
.而
在
不是增函数，而
，所以当
是增函数时，有
，所以当
不是增函数时，有
.综上所述，可得的取值范围是
.

二、填空题（本大题每小题5分，共20分）

11.
； 12.
； 13.
； 14.； 15.

13.提示：由正弦定理得：
代入
，得到
即
代入余弦定理得：
，
，又因为
，
.

三、解答题（本大题共80分）

16. 解：（1）把
代入
得到
………………………1分

，
………………………………………4分

（2）由（1）知

∴
，……………7分

∵
，
………9分

∴

………………………………11分

………………………………………………12分

17、解：（1）由频率直方图可知：第3组的人数为
……………………1分

第4组的人数为
…………………………………………2分

第5的人数为
………………………………………………3分

所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，

每组抽取的人数分别为：第3组：
第4组：

第5组：
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 ……5分

（2）记第3组的3名志愿者为
第4组的2名志愿者为
………………6分

则5名志愿者中抽取的2名志愿者有：

，
，
，

，
，
，
，
，
共10种 ……9分

其中第4组的2名志愿者为
至少有一名志愿者被抽中的有：
，

，
，
，
，
，
共有7种 …11分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
……………………………12分

18、解：（1）连结
与
交于点，则为
的中

点，连结
， ∵
为线段
的中点，

∴
且
…………………3分

又
且

∴
且
∴四边形
为平行四边形， ……………………5分

∴
, 即
． …………………………………………………………6分

又∵
平面
,
面
, ∴
,

∵
, ∴
, …………………………………………………………7分

（2）∵
平面
，
平面
,

∴平面
平面
. …………………………………………………………9分

∵
，平面
平面
，
平面
，

∴
平面.
. ………………………………………………………………10分

∴
是四棱锥
的高. ……………………………………………………11分

∵
……………………………………12分

∴四棱锥
的体积
. ………14分

19. 解：（1）当
时,
, 解得：
， ………………………………1分

当
时,
,

则有
，即：
，

∴数列
是以
为首项，
为公比的等比数列. ………………………3分

∴
……………………………………………………………4分

（2）∵点
在直线
上

∴
. …………………………………………………………………5分

因为
①,所以
②.

由①-②得,
,

所以
. ………………8分

（3）令
,则
=
=
……10分

时,
，所以
;
时,
，所以
;

时,
，所以
. …………………………………………13分

综上:①
时，
,②
时,
,③
时,
…14分

20、解：（1）由椭圆过点
，可得
…………………………1分

又
，
……………………………………………………………2分

解得：
， ………………………………………………………………3分

所以椭圆方程为
……………………………………………………4分

（2）若直线
斜率不存在，则可得
,于是

; ……………………………6分

若直线的斜率存在,设其方程为:

由
,可得
,

设
,则有
,
……………8分

由于
=

而
……10分

=

=

=

=

=
……………………………………………………………12分

=
=
综上所述，

即：存在实数
，使得
恒成立 …………………14分

21、解（1）
的定义域为

当
时，
，
………………………1分

当
时，
，
单调递减

当
时，
，
单调递增，

综上，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
………………3分

（2）由题意知：
，在
上恒成立，

即
在区间
上恒成立，

又
，
在区间
上恒成立 …………………………4分

设
，
，则
…5分

又令
，则
……6分

当
时，
，
单调递减，
，

即
在
恒成立 ………………………………………………………7分

所以
在
单调递增，
，

故
，所以实数的最小值
. …………………………………8分

（3）
， …………………………………………………………9分

又
，所以
……………………10分

要证
.

即证
，不妨设
，即证
，

即证
………………………………………………………………11分

设
，即证：
，

也就是要证：
，其中
， ……………………………12分

事实上：设
，

则
，……………………………13分

所以
在
上单调递增，因此
，