唐山市2014—2015学年度高三年级第二次模拟考试

文科数学参考答案

一、选择题：

A卷：CDDAB CBDAB AC

B卷：CDADC CBDAB AB

二、填空题：

（13）x－y＋1＝0； （14）150°； （15）； （16）20π．

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）因为2accosB＝a2＋c2－b2，所以2(a2－b2)＝a2＋c2－b2＋bc．

整理得a2＝b2＋c2＋bc，所以cosA＝－，即A＝． …4分

（Ⅱ）因为∠DAB＝，所以AD＝BD·sinB，∠DAC＝． …6分

在△ACD中，有＝，又因为BD＝3CD，

所以3sinB＝2sinC， …9分

由C＝－B得3sinB＝cosB－sinB， …11分

整理得tanB＝． …12分

（18）解：

（Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，

则EM∥AN，且EM＝AN，

四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．

由PA＝AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．

又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，

则MN⊥PC，PN＝CN． …6分

（Ⅱ）

设M，N，C，A到平面PBD的距离分别

为d1，d2，d3，d4，则d3＝2d1，d4＝2d2，

由VA－PBD＝VC－PBD，得d3＝d4，则d1＝d2，

故MF∶FN＝d1∶d2＝1∶1． …12分 （其它解答参照给分）

（19）解：

（Ⅰ）K2＝≈5.657，因为5.657＞5.024，

所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1∶ 3，

按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，

分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：

A1

A2

B1

B2

B3

B4

B5

B6



A1

－



＋

＋

＋

＋

＋

＋



A2



－

＋

＋

＋

＋

＋

＋



B1

＋

＋

－













B2

＋

＋



－











B3

＋

＋





－









B4

＋

＋







－







B5

＋

＋









－





B6

＋

＋











－



结果总数是56，符合条件的有24种结果．(若用树状图列式是：)

从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为＝． …12分

（20）解：

（Ⅰ）m：y＋1＝k(x－a)，n：y＋1＝－k(x－a)，分别代入x2＝4y，得

x2－4kx＋4ka＋4＝0 ①，

x2＋4kx－4ka＋4＝0 ②， …2分

由Δ1＝0得k2－ka－1＝0，

由Δ2＞0得k2＋ka－1＞0， …4分

故有2k2－2＞0，得k2＞1，即k＜－1或k＞1． …6分

（Ⅱ）F(0，1)，kAF＝＝－k，所以ak＝2． …8分

由Δ1＝0得k2＝ka＋1＝3，

B(2k，k2)，所以B到n的距离d＝＝＝4 …12分

(其它解法参照得分)

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝1－＋＝．t＝＞0， …2分

当x∈(0，t)时，f((x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(t，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单调递增． …4分

由f((t)＝0得 a＝－t． …6分

（Ⅱ）

（ⅰ）由（Ⅰ）知f(x)的极小值为g(t)＝t＋＋(－t)lnt，则g()＝＋t＋(t－) ln＝t＋＋(－t)lnt＝g(t) ． …8分

（ⅱ）g((t)＝－(1＋)lnt， …9分

当t∈(0，1)时，g((t)＞0，f(t)单调递增；

当t∈(1，＋∞)时，g((t)＜0，g(t)单调递减． …10分

又g()＝g(e2)＝－e2＜0，g(1)＝2＞0，

分别存在唯一的c∈(，1)和d∈(1，e2)，

使得g(c)＝g(d)＝0，且cd＝1，

所以y＝g(t)有两个零点且互为倒数． …12分

（22）解：

（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，

所以PB＝PC，且PO平分∠BPC，

所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP． …4分

（Ⅱ）由PB＝PC得PD＝PB＋CD＝5，

在Rt△PBD中，可得BD＝4．

则由切割线定理得DC2＝DA ? DB，

得DA＝1，因此AB＝3． …10分

（23）解：

（Ⅰ）曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆；

l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.

由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1. …4分

（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，

则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos(θ＋)

＝3cosθ－sinθ＝2cos(θ＋)，

当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2. …10分

（24）解：

（Ⅰ）当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；

当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；

当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4．

故当x＝－1时，f(x)取得最大值m＝2． …4分

（Ⅱ）a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．此时，ab＋bc取得最大值1． …10分