绵阳市高中2015届第三次诊断性考试

数学（理工类）

本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）。第I卷1至2页，第B卷2至4

页．共4页．满分150分考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在

本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第I卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的

1.已知i是虚数单位，则
等于

（A）－l＋i 　(B) －1－i 　(C) 1＋i 　　(D) 1－i

2.已知向量
为非零向量，则
的

（A）充分不必要条件　(B)必要不充分条件

　 (C)充要条件　　　　(D)既不充分又不必要条件

3.己知函数
的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，

则
的值为

(A) 4　　　 (B) 2 (C) 1　　　（D）

4.一机器元件的三视图及尺寸如右图示（单位：dm），则该组合体的体积为

(A) 80 dm3　　　　 (B) 88 dm3　 (C) 96 dm}3 　(D) 112 dm3

5.若
则下列不等式成立的是

6.已知S为执行如图所示的程序框图愉出的结果，则二项式
的展开式中常数项的系数是

（A）－20　　　　　　（B）20　　　（C）－
　　　（D）60

7.绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都到北京，则不同的出行安排有

(A) 180种　　(B) 72种　　(C) 216种　　（D）204种

8.已知函数
给出如下四个命题：

① f (x)在
上是减函数；

②
在R恒成么

③函数y＝f(x)图象与直线
有两个交点．

其中真命题的个数为

（A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个

9.己知四梭锥P-ABCD的各条棱长均为13, M, N分别是PA, BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长

　　（A）5　　　（B）6 (C) 7　　　（D）8

10.已知点
是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足
＝4，若AB

的垂直平分线交x轴于点M，则△AMB的面积的最大值是

第II卷（非选择题共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可

先用铂笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第n卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．双曲线2x2－y2=8的实轴长为　　　　　　

12.设变量x, y满足
则目标函数z=2x+y的最小值为　　　．

13右图是绵阳市某小区100户居民2014年月平均用水鱼（单位：t）的频率分布直

方图的一部分，则该小区2014年的月平均用水t的中位数的估计值为　　　

14.已知点
，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P.

使得
，则m的最大值为　　　　　　

15.用｜S｜表示集合S的元素个数，由n个集合为元素组成的集合称为“n元集”，如果集

合A, B, C满足
为最小相

交“三元集”．给出下列命题：

①集合｛1，2}的非空子集能组成6个目“二元集”

②若集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，则
3:

③集合(1，2. 3. 4)的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有16个书

④若集合｜M｜＝n，则它的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有
个．

其中正确的命题有　　　　　　　．（请演上你认为所有正确的命题序号）

三、解容题：本大皿共5 4111.共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演NOW

16.（本小题满分12分）

商场决定对某电器商品采用“提价抽奖”方式进行促销，即将该商品的售价提高100

元，但是购买此商品的顾客可以抽奖．规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若

中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为加元的奖金：

若中3次奖，则共获得数额为6m元的奖金。假设顾客每次中奖的概率都是
，设顾

客三次抽奖后所获得的奖金总额为随机变量
。

(1)求
的分布列：

(U）若要使促销方案对商场有利，试问商场最高能将奖金数额m定为多少元？

17.（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD, ∠ABC＝600，PA＝AB, E, F分别为BC, PC的中点．

（I）求证：AE⊥PD;

(II）求二面角E-AF-C的余弦值．

18（本小题满分12分）

已知函数

的图象如图所示·

(I)求f（x)在R上的单调递增区间；

（II）设
是函数y=f(x)的一个零点，求
的值．

19.（本小题满分12分）

在公差不为0的等差数列
成公比为a2的等比数列．

(I)求数列
的通项公式；

(II)设数列
满足

①求数列
的前n项和为Tn：

　　②令
，求使得
成立的所有·的低

20.（本小题满分13分）

已知△ABC中，点A(－1，0)，B(1，0)，动点C满足
，

C点轨迹为
．

(1)试求曲线
的轨迹方程；

(II)当
时，过定点B (1, 0)的直线与曲线
交于P，Q两点，N是曲线上不

同于P. Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．

21．（本小题满分14分）

设函数
．

(I)设
，求h(x)的单调区间；

(II)若存在
成立，求
取值范围·

绵阳市高2015届第三次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DCBCD AABCB

10．提示：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．设AB中点为
，于是
．

∴ 可设直线
的方程为
，

联立方程：
消去
得：
，∴ y1+y2=2t，y1y2=2t2-8，

∴

由
，得
，

令
时，得
，

∴
，

于是S△MAB
．

令
，则
，

∴ 当
时， (S△MAB)max=8，此时
．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．4 12．
13．2.02 14．6 15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ) 随机变量ξ的可能取值分别是：0，m，3m，6m元．

∴
；
；

；
；

ξ的分布列为：

ξ

0

m

3m

6m



P











 ………………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得：
， …………9分

若要使促销方案对商场有利，则
<100，解得m<75．

即要使促销方案对商场有利，商场最高能将奖金数额m应低于75元．…12分

17．(Ⅰ) 证明：∵?PA⊥底面ABCD，AE
底面ABCD，

∴ AE⊥PA． …………………………………1分

∵ 四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60o，∴ △ABC为等边三角形，

又 E是 BC中点，则AE⊥BC，由BC//AD，得AE⊥AD．……………………3分

又∵ PA∩AE=A，

∴ AE⊥平面PAD，又PD
平面PAD，∴ AE⊥PD． …………………………………5分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

设PA=AB=2，则A(0，0，0)，E(
，0，0)，C(
，1，0)，F(
，
，1)，

∴
=(
，0，0)，
=(
，1，0) ，
=(
，
，1)．…………7分

设平面EAF的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则
即
令z1=1，可得n1=(0，-2，1)．…9分

设平面ACF的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则
即
令x2=
，可得n2=(
，-3，0)．

……………………………………………………………………11分

设二面角E-AF-C的平面角为
，则
，

又由图可知
为锐角，所以二面角E-AF-C的余弦值为
．…………12分

18．解：(Ⅰ) 由图象知，
，故
，

，即
，于是由
，解得
．

∵
，且
，解得
．

∴
．…………………………………………………4分

由
≤
≤
，
，解得
≤x≤
，
，

即
在R上的单调递增区间为
．………………6分

(Ⅱ)由条件得：
，即
．

∵
且
在
上是增函数，
>0，
>0，
在
上是减函数，

∴
，∴
，…………………………………………………………9分

∴
， …………………………………10分

∴

． …………………………………………………………12分

19．解：(Ⅰ)设数列{an}公差为d，由题设得
……………………2分

即
解得

∴ 数列{an}的通项公式为：
(n∈N*)． ………………………………4分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：
…………………………………5分

①当
为偶数，即
时，奇数项和偶数项各
项，

∴

?
； ………………………7分

②当
为奇数，即
时，
为偶数．

∴
．

综上：
……………………………9分

(Ⅲ)
，

令
，由此
>10转化为
，

∵
≥1(当且仅当t=1时“=”号成立)，

∴
．

∵
，
．

∴
≥6，解得n≥
，

∴ 当n≥4，n∈N*时，
>10．…………………………………………12分

20．解：(Ⅰ)在△ABC中，根据正弦定理得

，

即
(
)，

∵ AB=2，∴
(定值)，且
，

∴ 动点
的轨迹
为椭圆(除去与A、B共线的两个点)． ………………3分

设其标准方程为
，∴ a2=
，b2=
-1，

∴ 所求曲线的轨迹方程为
． …………………………5分

(Ⅱ)
时，椭圆方程为
．

①过定点B的直线与x轴重合时，△NPQ面积无最大值．…………………6分

②过定点B的直线不与x轴重合时，

设l方程为：
，
，

若m=0，因为
，故此时△NPQ面积无最大值． ……………………7分

根据椭圆的几何性质，不妨设
．联立方程：
消去
整理得：
，

∴
，
，

则
．………………………………………9分

∵ 当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，

设切线
，联立
消去
整理得：
，

由
，解得：
．

又点N到直线l的距离
，

∴
，

．…………………………………………………11分

将
代入得：
，令
，设函数
，

则
，

∵ 当t∈
时，
>0，当t∈
时，
<0，∴
在
上是增函数，在
上是减函数，

∴
．故
时，△NPQ面积最大值是
．…………………………………13分

21．解：(Ⅰ)
=
，∴
，

由
解得
，由
解得
，

∴ 函数
的单增区间是
，函数
的单减区间是
．

………………………………………………………3分

(Ⅱ)由
≤
可变为
≤0．

令
，
，则
．

由
可得
，由
可得
，

所以
在
单调递减，在
单调递增．………………………6分

根据题设知：
，可解得
． …………………………7分

①若
≤
，即
时，∵
在
单调递减，

∴
≤0，即
≤0对
恒成立．

令

，
≤0，则
，即
在
上是减函数；

则
，

所以对任意
，
≤0成立．……………………10分

②当
，即
时，当且仅当
≤0，即
≥e，此时
．

……………………………………………………11分

③当
≥