南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）

数 学 试 卷（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第 Ⅰ 卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么 ·球的体积公式V球=
?R3，

P(A∪B)=P(A)+P(B)． 其中R表示球的半径．

·棱柱的体积公式V柱体=Sh，

其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设i是虚数单位，则复数
=（ ）．

（A）6–5i （B）6+5i　

（C）–6+5i （D）–6–5i

（2）已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≥0，则?p是（ ）．

（A）?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0

（B）?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0

（C）?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)＜0

（D）?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)＜0

（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．

（A）10 （B）11

（C）12 （D）13

（4）下列函数是奇函数的是（ ）．

（A）f(x)=–|x| （B）f(x)=lg(1+x)–lg(1–x)

（C）f(x)=2x+2–x （D）f(x)=x3–1

（5）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．

（A）k＜132? （B）k＜70?

（C）k＜64? （D）k＜63?

（6）已知双曲线C：
–
=1的焦距为10，点P (2，1)在C的渐近线上，则C的方程为（ ）．

（A）
–
=1 （B）
–
=1

（C）
–
=1 （D）
–
=1

（7）已知函数f(x)=sin(?x+
)（x∈R，?＞0）的最小正周期为?，将y=f(x)的图象向左平移|?|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则?的一个值是（ ）．

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）在△ABC中，若|
+
|=|
–
|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则
?
=（ ）．

　（A）
（B）

（C）
（D）

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）

答 题 纸（文史类）

题 号

二

 三

总分







(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)





得 分



















第 Ⅱ 卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。



















（9）在区间[–2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为
，则m= ．

（10）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x|(x–1)2≤4}，则A∩B= ．

（11）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．

（12）已知圆x2+y2+2x–2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是 ．

（13）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线

交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，

则EB= ．

（14）已知函数f(x)=
，若有三个不同的实数a，b，c，使得f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围为 ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得 分

评卷人

（15）（本小题满分13分）











一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．

（Ⅰ）用卡片上的数字列出所有可能的结果；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；

（Ⅲ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

得 分

评卷人

（16）（本小题满分13分）











已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2
sin2x．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求f(B)的取值范围．

得 分

评卷人

（17）（本小题满分13分）











如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为的PC中点，AD=CD=1，DB=2
．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）证明：AC⊥平面PBD；

（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成角的正切值．

得 分

评卷人

（18）（本小题满分13分）











已知椭圆C：
（a＞b＞0），其中e=
，焦距为2，过点M(4，0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为
，且
=?
．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求实数?的值．

得 分

评卷人

（19）（本小题满分14分）











在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ）设数列{an2–an}的前n项和为Sn，记bn=
，求证：数列{bn}的前n项和Tn＜
．

得 分

评卷人

（20）（本小题满分14分）











设函数f(x)=lnx–
ax2–bx．

（Ⅰ）当a=b=
时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）令F(x)=f(x)+
ax2+bx+
（0＜x≤3），其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤
恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）当a=0，b=–1时，方程f(x)=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）

数学试卷（文史类）参考答案

一、选择题：

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

 D

 C

 C

 B

 B

 A

 D

 B



二、填空题：

（9）3； （10）(–
，3]； （11）18+9?；

（12）–4； （13）
； （14）(2?，2016?)

三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

（15）解：（Ⅰ）由题意，(a，b，c)所有的可能为：

(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，

(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(1，1，2)，(2，1，3)，

(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，

(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，

(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种． …………6分

（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，

所以P(A)=
=
． …………9分

因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为
．

（Ⅲ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，

则事件
包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．

所以P(B)=1–P(
)=1–
=
．

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为
．…………13分

（16）解：（Ⅰ）f(x)=1+sin2x+
(1–cos2x)=sin2x–
cos2x +1+

=2sin(2x–
)+1+
…………5分

∴f(x)的最小正周期T=
=?． …………6分

（Ⅱ）由2acosC+c=2b可得2a
+c=2b，即b2+c2–a2=bc， …………8分

∴cosA=
=
，∴A=
，B+C=
， …………10分

∴0＜B＜
，∴–
＜2B–
＜?， …………11分

因为f(B)=2sin(2B–
) +1+
，

所以–
＜sin(2B–
)≤1，f(B)∈(1，3+
]． …………13分

（17）解：（Ⅰ）设AC∩BD=H，连结EH，

在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，

所以H为AC的中点，又由题设，E为PC的中点，故HE∥PA，

又HE?平面BDE， PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE． …………4分

（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC，

由（Ⅰ）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD． …………4分

（Ⅲ）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，

所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．

由AD⊥CD，AD=CD=1，DB= 2
，可得DH=CH=
，BH=
，

在Rt△BHC中，tan∠CBH=
=
，

所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为
． …………13分

（18）解：（Ⅰ）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2–c2=3，

椭圆的标准方程是
． …………4分

（Ⅱ）由
=?
，可知A，B，M三点共线，

设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．

若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意． …………5分

当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k(x–4)．

由
消去y得，(3+4k2)x2–32k2x+64k2–12=0．① …………7分

由①的判别式△=322k4–4(4k2+3)(64k2–12)=144(1–4k2)＞0，解得k2＜
，

x1+x2=
，x1x2=
． …………9分

由
=
=
，可得k2=
，即有k=
． …………10分

将k2=
代入方程①，得7x2–8x–8=0，

则x1=
，x2=
． …………11分

又因为
=(4–x1，–y1)，
=(x2–4，y2)，
=?
，

所以?=
=
． …………13分

（19）解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知得：2(a1+a3)=a2+a4，

即2(a1+a1q2)=a1q+a1q3，解得q=2，

又∵a1=2，

∴an=a1qn–1=2n； …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：Sn=(a12+a22+a32+…+an2)–(a1+a2+a32+…+an)

=(4+42+43+…+4n)–(2+22+23+…+2n)

=
–
=
(2n–1)(2n+1–1) …………9分

∴bn=
=
(
–
) …………11分

∴Tn=
(
–
+
–
+
–
+…+
–

+
–
)

=
(1–
)＜
． …………14分

（20）解：（Ⅰ）依题意，知f(x)的定义域为(0，+∞)． …………1分

当a=b=
时，f(x)=lnx–
ax2–
x，

f?(x)=
–
x –
=
， …………3分

令f?(x)=0，解得x=1或x=–2（舍去），

当0＜x＜1时，f?(x)＞0；当x＞1时，f?(x)＜0．

所以f(x)的单调增区间为(0，1)，减区间为(1，+∞)． …………5分

（Ⅱ）F(x)=lnx +
（0＜x≤3），

则有k=F?(x0)=
≤
在(0，3]上恒成立． …………7分

所以a≥(–
x02+x0)max． …………8分

当x0=1时，–
x02+x0取得最大值
．

所以a≥
． …………9分

（Ⅲ）当a=0，b=–1时，f(x)=lnx+x．

由f(x)=mx得lnx+x=mx．

又x＞0，所以m=1+
，

要使方程f(x)=mx在区间[1，e2]上有唯一实数解．

只需m=1+
有唯一实数解．

令g(x)=1+
（x＞0），∴g?(x)=
，

由g?(x)＞0得0＜x＜e；g?(x)＜0，得x＞e．

∴g(x)在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数．

g(1)=1，g(e2)=1+
，g(e)=1+
，

∴m=1+
或1≤m＜1+
． …………14分

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