闸北区2014学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．

2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分．

设幂函数
的图像经过点
，则函数
的奇偶性为____________．

设复数
，在复平面的对应的向量分别为
，则向量
对应的复数所对应的点的坐标为____________．

已知定义域为的函数
的图像关于点
对称，
是
的反函数，若
，则
___________．

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为
，不得分的概率为，其中
．已知投篮一次得分的期望是2，则
的最大值是____________．

设
数列
的前项和为
，则
___________．

设函数
若存在互不相等的实数
满足
，则
的取值范围是_____________．

若二项式
展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．

从双曲线
的左焦点引圆
的切线，切点为，延长
交双曲线右支于点，若
是线段
的中点，
为坐标原点，则
的值是____________．

已知集合
，
，
，现给出下列函数：①
；②
；③
；④
．若
时，恒有
，则所有满足条件的函数
的编号是___________．

把正整数排列成如图
的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图
的三角形数阵，现将图
中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列
，若
，则

1 1

2 3 4 2 4

5 6 7 8 9 5 7 9

10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36

二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

下列命题中，正确的个数是……………………………………………………………【 】

直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；

a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；

直四棱柱是直平行六面体；

两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．

A、0 B、1 C、2 D、3

在极坐标系中，关于曲线
的下列判断中正确的是……………【 】

A、曲线
关于直线
对称 B、曲线
关于直线
对称

C、曲线
关于点
对称 D、曲线
关于极点
对称

已知
是正三角形
内部的一点，
，则
的面积与
的面积之比是…………………………………………………………………………………【 】

A、
B、
C、 D、

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

如图，
是圆柱体
的一条母线，已知
过底面圆的圆心
，

是圆
上不与点
重合的任意一点，
，
，
．

（1）求直线
与平面
所成角的大小；

（2）将四面体
绕母线
旋转一周，求
的三边在旋

转过程中所围成的几何体的体积．

（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）

如图所示，某市拟在长为
道路
的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段
，该曲线段为函数

的图像，且图像的最高点为
，赛道的后一部分为折线段
，且
．

（1）求
、两点间的直线距离；

（2）求折线段赛道
长度的最大值．

（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）

已知圆
，点
，点
在圆
上运动，
的垂直平分线交
于点．

（1）求动点的轨迹
方程；

（2）过点
且斜率为
的动直线
交曲线
于
两点，在轴上是否存在定点，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）

设函数
的定义域为，值域为，如果存在函数
，使得函数
的值域仍是，那么称
是函数
的一个等值域变换．

（1）判断下列函数
是不是函数
的一个等值域变换？说明你的理由；

，
；

，
．

（2）设函数
的定义域为，值域为，函数
的定义域为
，值域为
，那么“
”是否为“
是
的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；

（3）设
的定义域为
，已知
是
的一个等值域变换，且函数
的定义域为，求实数
的值．

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

我们把一系列向量
按次序排成一列，称之为向量列，记作
，已知向量列
满足：
，

．

（1）证明：数列
是等比数列；

（2）设
，问数列
中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；

（3）设
表示向量
与
间的夹角，若
，对于任意正整数，不等式
恒成立，求实数的范围．

理科答案

填空题

1、偶函数； 2、
3、
4、
5、

6、
7、
8、
9、①②④ 10、1030

选择题

11、B 12、A 13、B

三．解答题

14、（1）
………………………………………………………5分

（2）
………………………………………………………………7分

15、

解（1）依题意，有
…………………………………………1分

又
， 而
，
………………………1分

当
时，
，
，又

………………………………………3分

（2）解：法一：在
中，
，
.

设
，则
.……………………………………1分

由正弦定理得
，
，

，……………………………………………………3分

故
……3分

，当
时，折线段赛道
最长为
.……………2分

解法二 ： （2）在
中，
，

由余弦定理得
，

即
；…………………………3分

故
，从而
…4分

即
，当且仅当
时等号成立.………………2分

亦即，设计为
时，折线段赛道
最长为
.

注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①
；②
；③点
在线段
的垂直平分线上等.

16、（1）
的垂直平分线交
于点，
.………………1分

，

所以动点的轨迹
是以点
、
为焦点的椭圆.…………………………2分

设椭圆的标准方程为

，则
，
，
，故椭圆的标准方程为
…………………………………………………………2分

直线l的方程为
，联立直线和椭圆的方程得
，即

，易知点
在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交于两点. …1分

设
，则
，……………………2分

假设在y轴上存在定点
满足题设，则
. 因为以AB为直径的圆恒过点D，则
.……………………2分

即
，因为
，

所以(*)变为

.………3分

由假设得对于任意的
，
恒成立，即
，解得
. 因此，在y轴上存在点D，点D的坐标为
………………………………………………3分

17、（1）①不是……………………………………………………………………2分

②
，即
的值域为
，

当
时，
，即
的值域仍为
，所以