北京市西城区2015年高三一模试卷数学（文科） 2015.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，集合
，若
，则实数的范围是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



2．复数满足
，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）



 （A）第一象限

（B）第二象限



 （C）第三象限

（D）第四象限



3．关于函数
和
，下列说法中正确的是（ ）



（A）都是奇函数



（B）都是偶函数





 （C）函数
的值域为 （D）函数
的值域为

4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为______.

（A）

（B）

（C）

（D）



5. 设
分别为直线
和圆
上的点，则
的最小值为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6．设函数
的定义域为，则“
，
”是“函数
为增函数”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

8. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）

（A）2枝玫瑰的价格高

（B）3枝康乃馨的价格高



 （C）价格相同

（D）不确定





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知平面向量
满足
，
，那么
____.

10．函数
的最小正周期是____.

11．在区间
上随机取一个实数x，则x使不等式
成立的概率为____.

12．已知双曲线C：
的一个焦点是抛物线
的焦点，且双曲线 C的离心率为，那么双曲线C的方程为____；渐近线方程是____.

13. 设函数
则
____；函数
的极小值是____.

14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：

奖品

收费(元／件)

工厂

一等奖奖品

 二等奖奖品



甲

500

 400



乙

800

 600



则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

如图，在
中，
，
，
，点在线段
上，且
.

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求
的值.

16．（本小题满分13分）

已知等差数列
的前项和为
，且满足
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
及
；

（Ⅱ）若
（
）成等比数列，求的最小值．

17．（本小题满分14分）

如图，在五面体
中，四边形
为正方形，
，

平面
平面
，且
,
，点G是EF的中点.

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）若点
在线段
上，且
，求证：
//平面
；

（Ⅲ）已知空间中有一点O到
五点的距离相等，请指出点的位置. (只需写出结论)

18．（本小题满分13分）

2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）

乘公共电汽车方案

10公里（含）内2元；

10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.





乘坐地铁方案（不含机场线）

6公里（含）内3元；

6公里至12公里（含）4元；

12公里至22公里（含）5元；

22公里至32公里（含）6元；

32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.





已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．

（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；

（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这120人中分层抽样所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；

（Ⅲ）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．(只需写出结论)

19．（本小题满分14分）

设点为椭圆
的右焦点，点
在椭圆上，已知椭圆的离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过右焦点的直线
与椭圆相交于，两点，记
三条边所在直线的斜率的乘积为，求的最大值.

20．（本小题满分13分）

设
，函数
，函数
，
.

（Ⅰ）判断函数
在区间
上是否为单调函数，并说明理由；

（Ⅱ）若当
时，对任意的
， 都有
成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
时，若存在直线
（
），使得曲线
与曲线
分别位于直线的两侧，写出的所有可能取值. (只需写出结论)

北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（文科） 2015.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．C 3．C 4．B

5．A 6．B 7．D 8．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．
12．

13．
14．

注：第12，13题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
，
，
，

所以
，
，
， ……………… 3分

又因为
，所以
，
. ……………… 4分

在
中，由余弦定理，

得
……………… 7分

，

所以
. ……………… 9分

（Ⅱ）在
中，由正弦定理，得
，

所以
， ……………… 12分

所以
. ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设公差为
，

由题意，得
……………… 4分

解得
，
， …………………5分

所以
， ………………… 6分

． ………………… 7分

（Ⅱ）解：因为
成等比数列，

所以
， ………………… 9分

即
， ………………… 10分

化简，得
， ………………… 11分

考察函数
，知
在
上单调递增，

又因为
，
，
，

所以当
时，有最小值6． ……………… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
，点G是EF的中点，

所以
. …………………1分

又因为
，

所以
. …………………2分

因为平面
平面
，且平面

平面
，

平面
，

所以
平面
. …………………4分

因为
平面
，

所以

. ………………5分

（Ⅱ）证明：如图，过点
作
//
，且交
于点，连结
，

因为
，所以
， ………………6分

因为
，点G是EF的中点，

所以
，

又因为
，四边形ABCD为正方形，

所以
//
，
.

所以四边形
是平行四边形.

所以
. ……………8分

又因为
平面
，
平面
，

所以
//平面
. ………………11分

（Ⅲ）解：点为线段
的中点. ………………14分

18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分

由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为
，
，
（人）.

所以票价小于5元的有
（人）． ………………2分

故120人中票价小于5元的频率是
．

所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率
． ………………4分

（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， ………………5分

由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为
，

则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. ………6分

记票价为3元的同学为
，票价为4元的同学为
，票价为5元的同学为
，

从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：
，

,

. ………………8分

其中事件的结果有4种，它们是：
. ………9分

所以这2人的票价和恰好为8元的概率为
. ……………… 10分

（Ⅲ）解：
． ………………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：设
，由题意，得
，

所以
，
. …………………2分

则椭圆方程为
，

又点
在椭圆上，

所以