本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

2．复数z满足
，则z＝

(A)
(B)
(C)
(D)

3．已知
，则下列不等式一定成立的是

(A)
(B)
(C)
(D)

4．下列说法中，正确的是

(A)
，

(B)命题p：
，
，则
：
，

(C)在△ABC中，“
”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件

(D)已知
，则“
”是“
”成立的充分不必要条件

5．设实数x，y满足
则
的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

6．如图所示的程序框图表示求算式“
”的值，则判断框内可以填入

(A)

(B)

(C)

(D)

7．已知函数
(
，
，
)的部分图象如图所示，下列说法正确的是

(A)
的图象关于直线
对称

(B)
的图象关于点
对称

(C)将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象

(D)若 方程
在
上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张. 则不同的取法的共有

(A) 135 (B) 172 (C) 189 (D) 216

9．如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝2，则该双曲线的离心率为

(A)
(B)

(C)2 (D)3

10．设m是一个非负整数，m的个位数记作
，如
，
，
，称这样的函数为尾数函数．给出下列有关尾数函数的结论：

①
；

②
，若
，都有
；

③
；

④
．

则正确的结论的个数为

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知
，
，则
_________．

12．函数
则使
的x值的集合是___________．

13．已知P为抛物线
上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是
，则
的最小值为__________．

14．如图1，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD－A1 B1Cl D1的棱AA1、BB1、DD1的中点，点M、N、P、Q分别在线段AG、 CF、BE、C1D1上运动，当以M、N、P、Q为顶点的三棱锥Q－PMN的俯视图是如图2所示的正方形时，则点P到QMN的距离为__________．

15．已知8个非零实数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，向量
，
，
，
，给出下列命题：

①若a1，a2，…，a8为等差数列，则存在
，使
＋
＋
＋
与向量
共线；

②若a1，a2，…，a8为公差不为0的等差数列，向量

，
，
，则集合M的元素有12个；

③若a1，a2，…，a8为等比数列，则对任意
，都有
∥
；

④若a1，a2，…，a8为等比数列，则存在
，使
·
＜0；

⑤若m＝
·

，则m的值中至少有一个不小于0．

其中所有真命题的序号是________________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查．活动结束后，团委会对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：

年龄（岁）

[10,20)

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70]



频数

m

n

15

10

7

3



知道的人数

4

6

12

6

3

2



表中所调查的居民年龄在[10,20)，[20,30)，[30,40)的人数成等差数列．

(Ⅰ)求上表中的m，n值，若从年龄在[20,30)的居民中随机选取两人，求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率；

(Ⅱ)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座，记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

17.（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数
．

(Ⅰ)求
在区间
上的零点；

(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，△ABC的面积
，当x＝A时，函数
取得极大值，求
的值．

18.（本小题满分12分）

已知数列{an}，{bn}满足：a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝
(
).

(Ⅰ)若{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn；

(Ⅱ)若{an}是等差数列，且an≠0，问：{bn}是否是等比数列？若是，求{an}和{bn}的通项公式；若不是，请说明理由．

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABB1A1⊥底面ABC，
，∠A1AB＝120°，D、E分别是BC、A1C1的中点．

(Ⅰ)试在棱AB上找一点F，使DE∥平面A1CF；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角A－A1C－F的余弦值．

20．（本小题满分13分）

已知动点P到定点
的距离和它到定直线
的距离的比值为
．

(Ⅰ)求动点P的轨迹(的方程；

(Ⅱ)若过点F的直线与点P的轨迹(相交于M，N两点(M，N均在y轴右侧)，点
、
，设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围．

21.（本小题满分14分）

已知函数
(a(R)．

(Ⅰ)当a＝2时，求函数
在(1, f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)求函数
的单调区间；

(Ⅲ)若函数
有两个极值点
,
(
)，不等式
恒成立，求实数m的取值范围．

资阳市高中2012级高考模拟考试

数学参考答案及评分意见（理工类）

一、选择题：BAACD，BDCCB．

二、填空题：11.
；12.
；13.
；14.
；15. ①③⑤.

三、解答题：

16.（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)由题
解得
，
．

记选取的两人至少有一人知道灭火器使用方法为事件A，

则
． 4分

(Ⅱ)随机变量
的所有可能值为0，1，2，3．

则
，

，

，

． 10分

所以
的分布列是：











P











 11分

所以
的数学期望
． 12分

17.（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)

． 3分

由
，得
(k∈Z)，则
(k∈Z)，

因为
，所以
在区间
上的零点是
，
． 6分

(Ⅱ)根据题意
，即
，所以
(k∈Z)，

因为
，所以
．

因为
，所以
，

根据余弦定理
，得
，

所以
，所以
． 12分

18.（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)因为a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝
，

则
时，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝
，

两式相减，得anbn＝n·2n(n≥2)，

当n＝1时，a1b1＝2，满足上式，所以anbn＝n·2n(n(N*)，

又因为{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，则bn＝
，所以an＝2n，

故数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，

所以
． 6分

(Ⅱ)设{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由(Ⅰ)得
， 7分

则
8分

．

故当
时，数列{bn}是等比数列，公比为2，此时an＝na1，
； 10分

当
时，数列{bn}不是等比数列． 12分

19.（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)F是AB的中点，证明如下：

连结DF，又因为D、E分别是BC、A1C1的中点，

所以DF
AC，又ACA1C1，且A1E＝
A1C1，

则DFA1E，故四边形A1FDE是平行四边形，

所以DE∥A1F，又A1F(平面A1CF，DE(平面A1CF，

所以DE∥平面A1CF． 4分

(Ⅱ)由题∠AA1B1＝60°，设A1A＝2，则A1B1＝1，

所以
，

则
，所以A1B1⊥AB1，

过点B1作平面A1B的垂线B1z，分别以
，
，
的方向为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系．

有
，
，
，
，

则
，
，
，

设平面A1CF，平面A1AC的法向量分别为
，
，

由
即
取
，

由
即
取
，

所以
，

所以二面角A－A1C－F的余弦值为
． 12分

20．（本小题满分13分）

解析：(Ⅰ)设动点
，则
，

化简得
． 4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)，轨迹(是以
为焦点，离心率为
的椭圆，如图，连结OM、ON，设直线MN方程为
，点
，
，

联立
消去x，得
，

则
，
，

所以
，

由于M，N均在y轴右侧，则
，
，且
，

则