2015届安庆市示范中学高三联考数学理科答案

选择题：

1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 7. B 8.C 9.A 10.D

填空题

11.7 12. 3 13.
14.864 15.①②④

16.解析：∵

①T=
………………5分

②

∴

在△ABC中，
得

∴当
时，
………………12分

17．解：（Ⅰ）设A1表示事件“日使用流量不低于15M”，A2表示事件“日使用流量低于5M”，B表示事件“在未来连续4天里有连续3天日使用流量不低于15M且另1天日使用流量低于5M”．则

P(A1)＝0.25＋0.15＝0.40，P(A2)＝0.05，

所以P(B)＝0.4×0.4××0.4×0.05×2＝0.0064. ………………5分

（Ⅱ）
可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为

，
，

，
.

X的分布列为

X

0

1

2

3



P

0.216

0.432

0.288

0.064



因为X～B(3，0.4)，所以期望E(X)＝3×0.4＝1.2. ………………12分

（18）解：（Ⅰ）证明：取
的中点，连接
，则
//
,所以
//

且
，所以四边形
是平行四边形，得
，

又因为
平面
，所以
//平面
. ………………6分

（Ⅱ）解：取
的中点
，连接
。因为OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以OA⊥OB1．又题意知△
,△
都为等边三角形，所以
┴
,
┴
,即
,两两互相垂直。如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)， ………………6分

设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为

＝(，0，－)，＝(0，－1，－)，

所以取m＝(1，－，1)． …8分

设平面BAB1的法向量为n＝(x2，y2， z2)， 因为

＝(，0，－)，

所以

取n＝(1，0，1)． ………………10分

则cos
?＝＝
，因为二面角C-AB1-B为锐角，

所以二面角C-AB1-B的余弦值为
． ………………6分

（Ⅱ）（几何法）解：取
的中点
，连接
因为OA＝OB1＝，又AB1＝，所以OA⊥OB1．又题意知△
,△
都为等边三角形，所以
┴
,
┴
,所以
┴平面
,即
┴平面
,所以
┴
,过作平面
的垂线，设垂足为
连接
，所以
┴平面
,则
┴
，所以∠
是二面角
的平面角。

因为

求得

在直角三角形
中

得

所以二面角
的余弦值为
…12分

19.解:（1）

当
时，
，

函数
为增函数.

②当
时

由
0得
， 解得两根
，

其中

的取值变化情况如下表：

、





























单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增





综合①②知当
时，
的增区间为
；

当
时，
的增区间为
、

，………………6分

（2）当
时，
在
上是增函数，至多有一极值点，不合题意。

当
时，

在x>0时有两个零点，则
，

………………13分

20. 解：(1)因为EF=2, 三角形
的周长为6,所以PE+PF=4,故点P的轨迹是E、F为焦点的椭圆，a=2,c=1

故椭圆C的方程为

………………3分

（2）设
，则

|PM|=
，|PE|=

∴|PM|·|PE|=
，

∵
，∴|PM|·|PE|的取值范围是（0,3）.…………7分

（3）法一：①当PM⊥x轴时，P
，Q
或
，

由
解得
……………………8分

②当PM不垂直于x轴时，设
，PQ方程为
，即

∵PQ与圆O相切，∴
，∴

∴

又
，所以由
得
…

∴

=
=12，∴
……13分

法二：设
，则直线OQ：
，∴
，

∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ

∴

∴

∴
，∴

∵
，∴
，∴
，∴

………………13分

21、解：（1）当
时，

可知

所以数列
是首项为2，公差为2的等差数列.

，

可知
.………………5分

(2)当a=1时，显然

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用
进行放缩：

则：

即

………………13分