数学（理科）参考答案及评分标准

1-4 ACBD 5-8 ADBC9.
10.
11.
12.
13.
14.

…………4分

由
得
，

所以函数
的单调递增区间为
（
）………………6分

（Ⅱ）函数
的图象上所有点的横坐标扩大到原来的二倍，再向右平移
个单位，得
， ………………8分

因为
得：
，所以
…………10分

所以当
时，
有最小值
，

当
时，
有最大值1. ………………13分

16.解：（I）总的事件空间所包含的基本事件数为
,…………2分

评委甲去班听课所包含的基本事件数为
， …………4分

设事件为评委甲去班听课，则
…………6分

（II）由题意
所有可能的值为1,2,3. …………7分

;
;
; …………10分

所以
的分布列为

1

2

3





P









所以所求数学期望为
. …………13分

17.解：（I）如图取
中点，连结
，
，则
，……………1分

依题意，
，而
，
，……………2分

故
,
，又因为
,故
平面
，

平面
，故平面
平面
.……………4分

（II）由题意知四边形
为矩形，
，因为
，又
，且
，所以可建立如图空间直角坐标系
.则：

,
，
，

所以
，
，
,
………6分

设平面
的法向量
，平面
的法向量
，

，即
，令
，于是
，又
，即
，

令
，于是
，
.…………8分

故二面角
的余弦值为
.………………………………………9分

（III）因为
，所以
，………10分

+
=
，………11分

设
与平面
所成角为，
.………13分

18．（本小题满分12分）

解：（I）易知
，因为
是
的垂直平分线，所以
，故
（圆的半径）；
，则
，

根据椭圆的定义，点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，

且
，其方程为
. ………5分

（II）设
，将
（
）代入
可得
，
，

； ………7分

又
，整理得
， ………9分

从而
，解得
，又
，则
.………13分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为对任意正整数，有
，

所以当
时，有
，解得
.………………………………2分

当
时，有
， ……4分

整理得
.………………………………………………………………7分

所以
. ………………7分

当
时，
，符合
，所以对任意正整数，有
.……8分

（Ⅱ）
.…………………………9分

即
，则
，两式相减可得

………………………………………………11分

所以
.………………………………………………………12分

所以
为递增数列，所以当
时，
最小，最小值为
.

所以
. ……………………14分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由
得
.

①当
时，
恒成立，
单调递减. ………………2分

②当
时，由
，得
.

令
，得
，
单调递减；令
，得
，
单调递增.

综上：
时，函数
的单调减区间为
，无单调增区间；

时，函数
的单调减区间为
，单调增区间为
.

……………………4分

（Ⅱ）若
恒成立,则
恒成立.

因为
，所以
时，不等式恒成立. ………………5分

当
时，
等价于
，即
恒成立.

令
，则
.令
，得
. ………………7分

令
，得
，
单调递增；令
，得
，
单调递减.

所以
时，
.所以
.

即实数的取值范围是
. ……………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知
时，
在
时恒成立， …………………10分

所以
时，
恒成立，即
.

所以
，
. …………………12分

各式左右两边分别相乘得
，
.

所以
，所以
，

即
时，
. ……………………14分