第I卷（选择题）

一、选择题：共12题 每题5分 共60分

1．设集合
，则
=

A.
B.
C.
D.

2．若
是纯虚数，则
的值为

A.-1 B.1 C.
D.

3．已知平面上三点A、B、C满足
，则
的值等于

A.25 B.24 C.
D.

4．
?表示不重合的两个平面，
表示不重合的两条直线．若
?，
?，
?，则“∥
”是“∥?且∥?”的

A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5．某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P，则下列数据中与P的值最接近的是

A.
B.
C.
D.

6．设变量
满足约束条件
，则目标函数
取值范围是

A.
B.
C.
D.

7．若α∈(0,),且sin2α+cos 2α=,则tan α的值为

A.
B.
C.
D.

8．集合A={(x,y)|y=lg(x+1)-1},B={(x,y)|x=m},若A∩B=?,则实数m的取值范围是

A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(-∞,-1) D.(-∞,-1]

9．已知正方体
，过顶点
作平面，使得直线
和
与平面所成的角都为
，这样的平面可以有

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

10．过抛物线
?的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为

A.6 B.9 C.12 D.无法确定

11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.
B.
??????? ??????????????????????

C.40 D.80

12．若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是

A.4 B.
C.2 D.

第II卷（非选择题）

二、填空题：共4题 每题5分 共20分

13．已知函数
的最大值为3，
的图象与y轴的交点坐标为
，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
? ?????

14．若等比数列{
}的首项为，且
，则公比等于?? ???.

15．如图所示,点B在以PA为直径的圆周上,点C在线段AB上,已知PA=5,PB=3,PC=
,设∠APB=α,∠APC=β,α,β均为锐角,则角β的值为　　　.

16．已知函数
?．下列命题：

①函数
?既有最大值又有最小值；

②函数
的图象是轴对称图形；

③函数
在区间
?上共有7个零点；

④函数
在区间
?上单调递增．

其中真命题是???????? ．(填写出所有真命题的序号)

三、解答题：共7题 每题12分 共84分

17．已知函数
?，
?(其中
?)，其部分图像如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)已知横坐标分别为-1、1、5的三点M,N,P都在函数f(x)的图像上，求
?的值．

18．口袋里装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(I)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(II)随机变量的概率分布和数学期望；

(III)计分介于17分到35分之间的概率.

19．已知各项均为整数的数列
满足
，
，前6项依次成等差数列， 从第5项起依次成等比数列.

(1)求数列
的通项公式；

(2)求出所有的正整数m ，使得
.

20．在如图所示的几何体中，四边形
是等腰梯形

，
.在梯形
中，
，且
，
⊥平面
.

(1)求证：
；

(2)若二面角
为
，求
的长.

21．??在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为
.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且
.

①求证：原点O到直线AB的距离为定值；

②求AB的最小值.

22．设函数
?．

(Ⅰ)当
?时,求函数
?的单调区间；

(Ⅱ)设
?为
的导函数，当
?时，函数
的图象总在
的图象的上方，求?的取值范围．

23．已知函数
（
为常数），其图象是曲线.

（1）当
时，求函数
的单调减区间；

（2）设函数
的导函数为
，若存在唯一的实数
，使得
与
同时成立，求实数的取值范围；

（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线
与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线
，设切线
的斜率分别为
.问：是否存在常数，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

 参考答案

?，所以
，
?，从而
， 由
?，

得
?.

解法二: 因为

，所以
，
?,
?,
?,

则
?.? 由
?，得
?.

18.解：(Ⅰ)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，

则

(Ⅱ)由题意
所有可能的取值为：2，3，4.

所以随机变量
的概率分布为

因此
的数学期望为

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为
，

则

19.(1) 设数列前6项的公差为
，则
，
(
为整数)

又
，
，
成等比数列，所以
，

即
，得

当
?时，
，

所以
，
，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2，

所以，当
时，
.故

(2)由(1)知，数列
?为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…

当
时等式成立，即
；

当
时等式成立，即
；

当
时等式不成立；

当m≥5 时，
，

若
，则
，所以

，
，从而方程
无解

所以
?.故所求
或
.

20.(1)证明：在
中，
?，所以
?有勾股定理得

所以

又因为

所以

又因为
,所以

所以

(2)因为
,由(1)可知
,以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.

设CE=h,则

设平面DAF的法向量

令
，又平面AFC的法向量

所以
，所以CE的长为
。

21.（1）由题意，可设椭圆C的方程为
，焦距为2c，离心率为e.

于是
.设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，

则
，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，

所以
.因为

所以椭圆方程为
.

（2）①设原点到直线
的距离为h，则由题设及面积公式知
.

当直线
的斜率不存在或斜率为时，
或

于是
.

当直线
的斜率存在且不为时，则
，

解得
?? 同理

在Rt△OAB中，
，

则

，所以
.

综上，原点到直线
的距离为定值
.

另解：

，所以
.

②因为h为定值，于是求
的最小值即求
的最小值.

，令
，则
，

于是

，

因为
，所以
，

当且仅当
，即
，
取得最小值
，因而

所以
的最小值为
.

22.(1)当
时，

由
?得
?解得

由
得
?，解得

所以函数
?的单调增区间为
?，单调减区间为

(2)因为

又因为函数
?的图像总在
?的图像上方，所以
?，即
.

在
?恒成立

又因为
?，所以
?所以

又

设
?即可

又

由
?，注意到

由
注意到
，解得

所以
?在区间
?单调递增，在区间
?单调递减

所以
的最小值为

因为
?做差可知

所以

所以a的取值范围是