第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2.复数
(
是虚数单位)的共轭复数为( )

A .
B.
C.
D.

3．已知
，并且是第二象限的角，那么
的值等于（ ）

A．-
B．-
C．
D．

4．已知双曲线
的渐近线方程为
，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知函数
是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是

①
；②
；③
；④
．

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

6. 在
中，
是边
上的一点，且
则
的值为( )

A.0 B.4 C.8 D.-4

7．己知函数
,

且
在区间
上递减，则＝( )

A．
B． C．
D．

8．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项

等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那

么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是( )

A．

B．

C．

D．

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于( )

A.
B.
C.
D.

10.已知抛物线C：
焦点为F，点P是C上一点，若△POF

的面积为2，则

A．
B．
C．
D．4

11.若直线
上存在点
满足约束条件
则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知
，令
，则方程
解的个数为( )

A．2014 B． 2015 C． 2016 D．2017

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.
则
.

14．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内爬行，则其到三角形顶点距离小于2的地方的概率为 .

15． 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是 .

16.如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2
，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为 ．（其中cos48.19°取近似值
）

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

已知数列
与
，若
且对任意正整数满足
数列
的前项和
．

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前项和

18．（本小题满分12分）

为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克），将他们的体重数据理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为
，其中第二小组的频数为12．

（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n；

（Ⅱ）已知A、a是该校报考体育专业的两名学生，

A的体重小于55千克， a的体重不小于

千克．现从该校报考体育专业的学生中按分

层抽样分别抽取小于
千克和不小于
千克的

学生共6名，然后在从这6人中抽取体重小

于
千克的学生2人，体重不小于
千克

的学生1人组成3人训练组，求A在训练组且a不在训练组的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面是以为中心的菱形，
,
,
为
上一点，且
.

（Ⅰ）证明：
;

（Ⅱ）若
，求四棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，左焦点为
，右焦点为
，、是椭圆
的左、右顶点，是椭圆
上异于、的动点，且
面积的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若线段
是椭圆过点
的弦，且
，求
内切圆面积最大时实数
的值.

21．（本小题满分12分）

设函数
（其中为自然对数的底数，
，
），曲线
在点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若对任意
，
有且只有两个零点，求的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O

于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于点H．

（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；

（Ⅱ）若
，求△BDF外接圆的半径．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程是
圆C的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；

（Ⅱ）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
,

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求
的取值范围．

2015届高三文科数学复习试题参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

C

B

A

D

D

B

B

C

C

A

A

D





二.填空题

13. 9 ; 14．
; 15．
; 16．
.

三、解答题

17.解：（I）由题意数列｛an｝ 是以3为首项,以2为公差的等数列,

∴an=2n+1……………………3分

当
时，
；………………4分

当
时，bn=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2＋2

对
不成立

18.解：（I）由图知第四组的频率为
，

第五组的频率为.
………………………………………………………3分

又有条件知前三组的频率分别为
，所以
…………………5分

（II）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为

体重不小于70千克的学生2人，记为
…………………………………………………6分

从中抽取满足条件的所有结果有：
，

共12种…………………10分

所求事件的概率为
………………………………………………………………12分

19．（I）因为
底面
，
底面
，故
.

因为
是以为中心的菱形，
，

所以
。…………………………2分

又因为
，所以
，
………………………………6分

（II）由（1）可知，
，
,在
中，利用余弦定理可以求得
.…………………………7分

设
，可得
,

又因为
，解得
，即
.…………………………8分

所以四棱锥
的体积为
……………12分

20. 解：（I）
面积的最大值
又

…………4分

（II）显然直线
不与轴重合

当直线
与轴垂直时，|
|=3，
，
；………………5分

当直线
不与轴垂直时，设直线
：
代入椭圆C的标准方程，

整理，得

………………7分

令

所以

由上，得

所以当直线
与轴垂直时
最大，且最大面积为3 ……………10分

设
内切圆半径，则

即
，此时直线
与轴垂直，
内切圆面积最大

所以，
………………12分

21. 解:( I)
………2分

，

………3分

(II)由（1）得
，

①当
时，由
得
；由
得
.

此时
在
上单调递减，在
上单调递增.

，

（或当
时，
亦可）

要使得
在
上有且只有两个零点，

则只需

，即
…6分

②当
时，由
得
或
；由
得
.此时
在
上单调递减，在
和
上单调递增. 此时

，此时
在
至多只有一个零点，不合题意………9分

③当
时，由
得
或
，由
得
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，且
，
在
至多只有一个零点，不合题意.

综上所述，的取值范围为
………12分

22．（I）因为
为圆
的一条直径，所以
…………………………………2分

又
，所以
四点共圆…………………………………………………4分

(II)因为AH与圆B相切于点F，

由切割线定理得
，代入解得AD=4………………………………………5分

所以
…………………………………………………6分

又△AFB∽△ADH，所以
………………………………………………………7分

由此得
………………………………………………………………8分

连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径，
……9分

故△BDF的外接圆半径为
………………………………………………………………10分

23.解：（I）∵ρ=2cos(θ+)

∴ρ= cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ …………2分

∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0 …………3分

∴圆心C的直角坐标为(,- ) …………5分

（Ⅱ）法一： 由直线上的点向圆C引切线长为

==≥2,

∴直线上的点向圆C引切线长的最小值为2 …………10分

法二：直线l的普通方程为x-y+4=0, …………6分

圆心C到
距离是
， …………8分

∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是
…………10分

24． （I）∵a2+b2≥2ab,

c2+d2≥2cd

∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd), 当且仅当a=b=c=d=时取“=” …………2分

又∵a2+b2=1, c2+d2=1

∴2(ab+cd)≤2 …………4分

∴ab+cd≤1 …………5分

（II）设=(a,b),=(1,),

∵|(|≤|