2014-2015学年（下）高三年级“三年磨一剑之亮剑”

第四次模拟考试 数学学科（理）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1) 设集合
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

(2) 设复数
满足
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

(3) 已知命题
“
”，则命题

(A)
(B)

(C)
(D)

(4) 各项均为正数的等差数列
中，
，则前12项和
的最小值为

(A)
(B)
(C)
(D)

(5) 已知
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

(6) 高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为

学科

数学

信息

物理

化学

生物



北大

4

2

5

4

1



清华

2

1

0

4

2



(A)
(B)

(C)
(D)

(7) 已知实数
满足平面区域
，则
的

最大值为

(A)
(B) 1 (C)
(D) 8

(8) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

(A)
(B)
(C)
(D)

(9) 执行如图所示的程序框图，则输出的

(A)
(B)
(C)
(D)

(10) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知
是一对相关曲线的焦点，
是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当
时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为

(A)
(B)
(C)
(D)

(11) 函数
的部分图象大致为

(A) (B) (C) (D)

(12) 已知函数
有两个零点
，则下列说法错误的是

(A)
(B)

(C)
(D)有极小值点
，且

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

(13)已知向量
满足
，
在
方向上的投影是
，则
= ；

(14)直线
被圆
所截得的弦长为 ；

(15)如下图数阵中的前n行的数字和为 ；

2 第一行

3 3 第二行

4 6 4 第三行

5 10 10 5 第四行

6 15 20 15 6 第五行

……… … … …

(16)如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）
中，

是
的中点，
是
的中点，
是棱
所在直线上的动点．则下列四个命题：

①
②

平面
③

④过
可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．

其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

已知函数
的最大值是2，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）已知锐角△
的内角
的对边分别为
，若
，
，
．求△
的面积．

(18)（本小题满分12分）

砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位:
）:

甲



乙





3

4

5

6

7





甲地区的10个村子饮用水中砷的含量:

52 32 41 72 43 35 45 61 53 44

乙地区的10个村子饮用水中砷的含量:

44 56 38 61 72 57 64 71 58 62

（I）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；

（II）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50
，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用
表示派驻的医疗小组数，试写出
的分布列并求
的期望．

(19)（本小题满分12分）

如图，直三棱柱
中，
，
是棱
的中点，
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求二面角
的大小．

(20)（本小题满分12分）

已知抛物线C：
的焦点为F，直线
与
轴的交点为P，与C的交点为Q，且
．

（I）求C的方程；

（II）点
在抛物线C上，是否存在直线
与C交于点
，使得△
是以
为斜边的直角三角形？若存在，求出直线
的方程；若不存在说明理由．

(21)（本小题满分12分）

已知函数
．

（I）若函数
在
单调递增，求
取值范围；

（II）若函数
的最小值为0，且当
时，
，求
的最小值．

请考生在第22，23，24三题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一道题目计分．

(22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知圆
外有一点
，作圆
的切线
，
为切点，过
的中点
，作割线
，交圆于
、
两点，连接
并延长，交圆
于点
，连接
交圆
于点
，若
．

（I）求证:△
∽△
;

（II）求证:四边形
是平行四边形．

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆C的参数方程
为参数）.以
为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程；

（Ⅱ）设直线
极坐标方程是
射线
与圆C的交点为
、
，与直线
的交点为
，求线段
的长.

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（I）解不等式
，

（II）已知
，若
恒成立，求实数a的取值范围．

2014-2015学年（下）高三年级“三年磨一剑之亮剑”

第四次模拟考试 数学学科（理）试卷(含答案)

命题人：高长玉 王艳平 宫海静 刘佰昌

C

B

A

D

B

A

D

C

B

A

D

C



一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1) 设集合
，则
【C】

(A)
(B)
(C)
(D)

(2) 设复数
满足
，则
【B】

(A)
(B)
(C)
(D)

(3) 已知命题
“
”，则命题
【A】

（A）
（B）

（C）
（D）

(4) 各项均为正数的等差数列
中，
，则前12项和
的最小值为【D】

（A）
（B）
（C）
（D）

(5) 已知
，则
【B】

(A)
(B)
(C)
(D)

学科

数学

信息

物理

化学

生物



北大

4

2

5

4

1



清华

2

1

0

4

2



 (6) 高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为【A】

(A)
(B)
(C)
(D)

(7) 已知实数
满足平面区域
，则
的

最大值为【D】

(A)
(B) 1 (C)
(D) 8

(8) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【C】

(A)
(B)
(C)
(D)

(9) 执行如图所示的程序框图，则输出的
【B】

(A)
(B)
(C)
(D)

(10) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知
是一对相关曲线的焦点，
是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当
时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为【A】

(A)
(B)
(C)
(D)

(11) 函数
的部分图象大致为【D】

(A) (B) (C) (D)

(12) 已知函数
有两个零点
，则下列说法错误的是【C】

(A)
(B)

(C)
(D)有极小值点