吉林省实验中学2015届高三年级第五次模拟考试

数 学 试 题（文科）

命题人：赵晓玲 审题人：杨丽芬 2015年5月28日

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）在复平面内，复数
的共轭复数的虚部为

（A）
（B）
（C）
i （D）
i

（3）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1，2，…1000．适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间
的人做问卷A，编号落入区间
的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为

（A）12 （B）13

（C）14 （D）15

（4）在等差数列
中，首项
，公差
，若

，则

（A）22 （B）23

（C）24 （D）25

（5）执行如图所示的程序框图，输出的T＝

（A）29 （B）44

（C）52 （D）62

（6）已知直线
和平面
，则
∥
的必要不充分条件是

（A）直线
和平面
成等角 （B）
且

（C）
∥
且
（D）
∥
且
∥

（7）将函数
的图像向右平移
个单位得到函数
的图像，再将函数
的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知函数
满足对任意的实数
，都有

成立，则实数
的取值范围为

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）已知
，满足
，则
的最小值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）已知
，
，则数列
的通项为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）变量
满足线性约束条件
目标函数
仅在点
取得最小值，则k的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）对于函数
，部分x与y的对应关系如下表：

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9



y

3

7

5

9

6

1

8

2

4



数列
满足：
，且对于任意
，点
都在函数
的图象上，则

（A）7539 （B） 7546 （C）7549 （D）7554

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为 ．

（14）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：

排队人数

0

1

2

3

4

≥5



概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04





则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ．

（15）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体

积是 ．

（16）在平面直角坐标系
中，设直线
与圆
交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足
．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知
，
，
．

（Ⅰ）求a，c的值；

（Ⅱ）求
的值．

（18）（本小题满分12分）

为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30





已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；

（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？

参考数据：

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001




k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





（参考公式：
，其中
）

（19）（本小题满分12分）

如图，已知直三棱柱
中，

分别是
的中点，点
在线段
上运动．

（Ⅰ）证明：无论点
在线段
上的任何位置，

总有
⊥平面
；

（Ⅱ）若
，试求三棱锥
的体积．

（20）（本小题满分12分）

已知以C为圆心的动圆过定点
，且与圆
（B为圆心）相切，点C的轨迹为曲线T．设Q为曲线T上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ（O为坐标原点）的平行线交曲线T于M，N两点．

（Ⅰ）求曲线T的方程；

（Ⅱ）是否存在常数
，使
总成立？若存在，求
；若不存在，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
在
处的切线
与直线
平行．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）记函数
，设
是函数
的两个极值点，若
，且
恒成立，求实数
的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知圆O的两弦AB和CD相交于点E，FG是圆O的切线，

G为切点，EF＝FG．

求证：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
∥
．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，设圆
：?＝4 cos? 与直线l：?＝ (?∈R)交于A，B两点．

（Ⅰ）求以AB为直径的圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）在圆
上任取一点
，在圆
上任取一点
，求线段
的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
时，
，求
的取值范围．

吉林省实验中学2015届高三年级第五次模拟考试

数学（文）答案

一选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

B

A

A

A

A

D

B

B

C

C

D



二、填空题：

（13）
（14）0.74 （15）
（16）

三、解答题:

（17）【解】（Ⅰ）由
得：
，

由
得
，所以
，

由余弦定理
，即
，

∵
，∴
．

（Ⅱ）
，由正弦定理得
，∴
，
．

（18）【解】（Ⅰ）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，x＝6

常喝

不常喝

合计



肥胖

6

2

8



不胖

4

18

22



合计

10

20

30



（Ⅱ）由已知数据可求得：K2≈8.522＞7.879因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．

（Ⅲ）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．抽出一男一女的概率是
．

（19）【解】（Ⅰ）连接
．

∵
，
分别是
的中点，∴△AA1Q≌△CAM，∴

∴
即
⊥
……①

∵
分别是
的中点，∴
∥
，

又
⊥
，所以
⊥
，

在直三棱柱中，
⊥面
，

∴
⊥
，又
，所以
⊥平面
，

∴
⊥
……②，由①②及
得
⊥平面
．

（Ⅱ）设P点到平面
的距离为h，由
∥
∥
可得
∥平面
，

∴动点P到平面
的距离为定值，

由
,得
．

（20）【解】（Ⅰ）∵
在圆
的内部，∴两圆相内切，所以
，

即
．

∴
点的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，且长轴长
，
，
，

∴曲线
的方程为：
.

（Ⅱ）当直线
斜率不存在时，
，
．

∴
，则
；

当直线
斜率存在时，设
，
，MN:
，则
:
，

由
得
，

则
，
，

∴
.

由
得
，则
，

∴
，由
可解得
.

综上，存在常数

，使
总成立．

21．【解】（Ⅰ）
，

∵函数在x＝2处的切线l与直线x＋2y－3＝0平行，

∴
，解得a＝1

（Ⅱ）由（1）得f（x）＝lnx－x，∴f(x)＋m＝2x－x2，即x2－3x＋lnx＋m＝0，

法1：设h(x)＝x2－3x＋lnx＋m，（x＞0）

则h′(x)＝2x－3＋
＝
，

令h′(x)＝0，得x1＝
，x2＝1，列表得：

x

（
，1）

1

（1，2）

2



h′（x）

－

0

＋





h（x）



极小值



m－2＋ln2



∴当x＝1时，h(x)的极小值为h(1)＝m－2，

又h(
)＝
，h(2)＝m－2＋ln2，

∵方程f(x)＋m＝2x－x2在
上恰有两个不相等的实数根，

∴