高三数学仿真模拟试题

5.20

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知
，其中
是实数，是虚数单位，则

A．
B． C．
D．

2. 已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

3. 某校共有高一、高二、高三学生
人，其中高一
人，高二比高三多
人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生
人，则该样本中的高三学生人数为

A．
B．
C．
D．

4. 函数
的值域为

A．
B．
C．
D．

5. 已知
函数是一个求余函数，其格式为
，

其结果为除以的余数，例如
.

右面是一个算法的程序框图，

当输入的值为
时，则输出的结果为

A． B．
C．
D．

6. 已知圆
与轴相交于
两点，则弦
所对的圆心角的大小为

A．
　　　　　B．
　　　　　C．
　　　　　D．

7.“
”是“函数
有零点”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8. 已知函数
的图象过点
，则
的图象的一个对称中心是

A．
　 　B．
　 　C．
　 　 D．

9. 设
满足约束条件
，则下列不等式恒成立的是

A．
　　 　B．
　　 　C．
　　 　D．

10. 如果函数
在区间上是增函数，而函数
在区间上是减函数，那么称函数
是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函
是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知不共线的平面向量
，
满足
，
，那么
；

12. 已知函数
则
；

13. 已知实数
满足
，则
的最大值是

；

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是

；

15. 已知双曲线
的右焦点为，过作斜率为
的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，
为坐标原点，若
的面积为
，则该双曲线的离心率为 ．

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

某区工商局、消费者协会在
月
号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取
名群众，按他们的年龄分组：第组
，第组
，第
组
，第组
，第
组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，求被采访人恰好在第组或第组的概率；

（Ⅱ）已知第组群众中男性有人，

组织方要从第组中随机抽取
名群

众组成维权志愿者服务队，求至少

有两名女性的概率.

17．（本小题满分12分）

已知向量
,
,实数为大于零的常数，函数
,
,且函数
的最大值为
.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在
中，
分别为内角
所对的边，若
，
,且
,
,求
的值.

18．（本小题满分12分）

如图，在正四棱台
中，
，
，
，、分别是
、
的中点.

（Ⅰ）求证：平面
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
.

注：用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，

底面与截面之间的部分叫做正四棱台.

19．（本小题满分12分）

设
是等差数列，
是各项都为正整数的等比数列，且
，
，
，
．

（Ⅰ）求
，
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
（
），且
，试求
的通项公式及其前
项和
．

20．（本小题满分13分）

已知抛物线

的焦点为，抛物线上存在一点
到焦点的距离为
，且点
在圆

上．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）已知椭圆

的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且离心率为
．直线
交椭圆
于、两个不同的点，若原点
在以线段
为直径的圆的外部，求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（
）．

（Ⅰ）当
时，求函数
的图象在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，记函数
，试求
的单调递减区间；

（Ⅲ）设函数
（其中
为常数），若函数
在区间
上不存在极值，求
的最大值．

高三数学（文科）参考答案及评分标准

5.20

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

D C B C B C A B C D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12. 13.
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设第组
的频率为

； ………………………………………3分

第组的频率为

所以被采访人恰好在第组或第组的概率为

……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设第组
的频数
，则
……………………7分

记第组中的男性为
，女性为

随机抽取
名群众的基本事件是：
，
，
，

，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，

，
，
，
共
种 ……………………10分

其中至少有两名女性的基本事件是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共
种

所以至少有两名女性的概率为
………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知

………………………5分

因为
，所以
的最大值为
，则
…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，所以

化简得

因为
，所以

则
，解得
……………………………………………………………8分

所以

化简得
，则
…………………………………………………………10分

所以
……………………………12分

18．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连接
，
，分别交
于
，连接

由题意，
∥

因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
…………3分又因为
，所以

又因为、分别是
、
的中点，所以

所以

又因为
∥
，所以
∥

所以四边形
为平行四边形

所以
∥

因为
平面
，
平面
，所以
∥平面

因为
，所以平面
∥平面
…………………………………6分

（Ⅱ）连接
，因为
∥
，
=
，

所以四边形
为平行四边形

因为
，所以四边形
为菱形

所以
…………