2015届山东省济宁市梁山县第一中学高三4月模拟数学（理）试题

本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第I卷 （选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定

的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只收答题卡。

第I卷 （选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．设复数
，
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
，则
（ ）

A．- 5 B．5 C．- 4+ i D．- 4 - i

3．设
为全集，
是集合，则“存在集合
使得
是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有

A．
种 B．
种 C．
种 D．
种

5．阅读下面程序框图，则输出结果s的值为

A．
B．
C．－
D．

6．在数列{an}中，“an=2an一l（n=2，3，4，．．）”是“{an}是公比为2的等比数列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．若实数x，y满足
，则x+2y的最大值为

A．6 B．
C． 10 D． 11

8．一个侧棱与底面垂直的棱柱被一个平面截去一部分所剩几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为

A．9 B．10 C．11 D．

9．已知P是△ABC所在平面内一点，
，现将一粒黄豆随机撒在三角形ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是

A．
B．
C．
D．

10．如图，已知双曲线
的左右焦点分别为F1，F2，| F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交与点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=l，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．2 D．3

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a2012－1）3+2014a2012=0，（a3－1）3+2014a3 =4028，则下列结论正确的是

A．S2014=2014,a2012a3

C．S2014=2013,a2012 a3

12．已知函数
有且只有一个零点，则实数a的值为

A．l B．－3 C．2 D．l或－3

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须

做答。第22题-第24题为选做题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=l，|2a–b|=
，则| b|= 。

14．三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为 。

15．已知动点P（x，y）在椭圆
上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1．且MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为 。

16．已知
，数列
的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n+8，则bn·Sn的最小值为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且∠ACB=
．

（I）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；

（Ⅱ）若c=
，∠ABC=
，试用
表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

18．（本小题潢分12分）

某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从人口进入之后有L1，L2两条巷道通往作业区（如下图），L1巷道有A1，A2 ，A3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是
；L2巷道有B1，B2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为
．

（I）求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；

（Ⅱ）若L2巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望EX，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC - A1 B1C1的底面是边长为4的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2
，M为A1B1，的中点．

（I）求证：MC⊥AB；

（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP?若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B-AP -C的余弦值．

20．（本小题满分12分）

过抛物线C:y2= 4x上一点P（l，－2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（xl，y1），B（x2，y2）．

（I）求y1+y2的值；

（Ⅱ）若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

设
．

（I）求证：当
时，
；

（Ⅱ）若不等式
对任意的
恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答

时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．

（I）求证：DE是圆D的切绒；

（Ⅱ）如果AD=AB =2，求EB的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的圆心
，半径r=
．

（I）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（t为参数），直线
交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数
．

（I）若
恒成立，求后的取值范围；

（Ⅱ）当k=1时，解不等式：
，

2015届山东省济宁市梁山县第一中学高三4月模拟

数学（理）试题参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．C 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．C 11．A 12．A

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．
14．
15．
16．

三、解答题

17．解

（Ⅰ）、
、成等差数列，且公差为2，
、
.

又
，
，

， 2分

，

恒等变形得
， 4分

解得
或
.又
，
. 　6分

（Ⅱ）在
中，
，

，

，
. 8分

的周长

， 10分

又
，
,

当
即
时，
取得最大值
． 12分

18．解：

（Ⅰ）设
巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞为事件，

则
3分

（Ⅱ）依题意,
的可能取值为0,1,2 ． 4分

所以,随机变量
的分布列为:

0

1

2














8分

（方法一）设
巷道中堵塞点个数为,则的可能取值为0,1,2,3．

所以,随机变量的分布列为:

0

1

2

3
















． 11分

因为
,所以选择
巷道为抢险路线为好． 12分

（方法二）设
巷道中堵塞点个数为,则随机变量
,

所以,
．

因为
,所以选择
巷道为抢险路线为好． 12分

19．解：

（Ⅰ）取
中点
，连接
，
.

∵
为
中点，∴
∥
，又
⊥平面
，∴
⊥平面
，

∴
． 2分

∵
为正三角形，∴
，

又
，∴
⊥平面
，

又∵
平面
， ∴
． 4分

（Ⅱ）以O为原点，以
，
，
的方向分别为轴，轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．如下图。依题意

，

． 6分

设
，

则
．

要使直线
平面
，只要

,

即
，解得
． 8分

∴的坐标为
．

∴当为线段
的中点时，
平面
． 9分

（Ⅲ）取线段
的中点，则
，易知
平面
，

故
为平面
的一个法向量． 10分

又由（II）知
为平面
的一个法向量． 11分

设二面角
的平面角为，则

∴二面角
的余弦值为
． 12分

20．解：

（Ⅰ）因为
在抛物线
上，

所以
，
，

同理
，依题有
，因为
，

所以
． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， 5分

设
的方程为
，即
，

到
的距离为
，

， 7分

所以

， 9分

令
，由
，
，可知
．

， 10分

因为
为偶函数，只考虑
的情况，

记
，
，故
在
是单调增函数，

故
的最大值为

∴
． 12分

21．（Ⅰ）证明：

，则
，

设
，则
， 2分

当
时，
，即
为增函数，

所以
，

即
在
时为增函数，所以
． 4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
时，
，
，

所以
， 6分

设
，则
，

设
，则