冷曦中学2016届开学第一考

数学（文）试题

考试时间：2015年8月9日 8.00-10.30 试卷满分：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z?
（
表示复数z的共扼复数）的值是（）

A． ﹣3i B． 3i C． ﹣3 D． 3

2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|3x﹣4≤0}，满足如图所示的阴影部分的集合是（）

? A．?{x|x＞1}???? B．{x|1＜x≤
}??

C．?{x|x≤1}?? ?D．{x|x＞
}

3．（5分）双曲线
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）

A．
B．
C．
D．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）

A． 4 B． 8 C． 16 D． 216

5．（5分）已知a=sin2，b=log
2，c=log

，则（）

A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． a＞c＞b D． c＞b＞a

6．（5分）等比数列{an}中，a2=
，a6=4，记{an}的前n项积为Tn，则T7=（）

A． 1 B． 1或一1 C． 2 D． 2或一2

7．（5分）
=（）

A．
B．
C．
D． 1

8．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）

A．
B．
C． 1 D．

9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=
，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）

A． 1或
B．
C．
D． 1或

10．（5分）已知函数f（x）=
，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）

11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为．

12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量
=（2，1），若
∥
，则实数a的值为．

13．（5分）已知实数x，y满足条件
，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为．

14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为．

15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：

①
?
的最小值为一1；

②△OBC面积的最大值为1；

③若a=
，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；

④若a=
，且
=λ
（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=
；

⑤若a=
，且
=
，圆O上的点D满足
，则直线BC的斜率是
．

其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．（12分）已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+
）（ω＞0）的最小正周期T=4π

（I）求ω；

（Ⅱ）当x∈时，求函数：y=f（x）﹣
的零点．

17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足

20．（13分）已知函数f（x）=
（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣
．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：
=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）如果点C满足3
+2
=
，当k=
时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC平分线所在直线的方程．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z?
（
表示复数z的共扼复数）的值是（）

A． ﹣3i B． 3i C． ﹣3 D． 3

考点： 复数的代数表示法及其几何意义．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 直接计算即可．

解答： 解：∵z2+3=0，∴z=±
i，

∴z?
=﹣3i2=3，

故选：D．

点评： 本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．

2．已知全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|3x﹣4≤0}，满足如图所示的阴影部分的集合是（）

?A．{x|x＞1}???? B．???{x|1＜x≤
}??

C．{x|x≤1}??? D．???{x|x＞
}

D

考点： Venn图表达集合的关系及运算．

专题： 集合．

分析： 先确定阴影部分对应的集合为（?UB）∩A，然后利用集合关系确定集合元素即可．

解答： 阴影部分对应的集合为（?UB）∩A，

∵B={x|3x﹣4≤0}={x|x≤}，

∴?UB={x|x＞}，

∴（?UB）∩A={x|x＞}

故选：D

点评： 本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图，确定阴影部分的集合关系是解决本题的关键．

3.考点： 双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 利用双曲线的渐近线，转化求解离心率即可．

解答： 解：双曲线
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，

可得
，即b=2a，c2﹣a2=4a2，可得e=
．

故选：C．

点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）

A． 4 B． 8 C． 16 D． 216

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 根据程序框图进行模拟运算即可．

解答： 解：第一次1≤6，b=2，a=1+2=3，

第二次3≤6，b=4，a=3+2=5，

第三次5≤6，b=24=16，a=5+2=7，

第四次7≤6不成立，输出b=16，

故选：C

点评： 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查

5．（5分）已知a=sin2，b=log
2，c=log

，则（）

A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． a＞c＞b D． c＞b＞a

考点： 对数值大小的比较．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵0＜a=sin2＜1，b=log
2＜0，c=log

=log23＞1，

∴c＞a＞b．

故选：B．

点评： 本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题．

6．（5分）等比数列{an}中，a2=
，a6=4，记{an}的前n项积为Tn，则T7=（）

A． 1 B． 1或一1 C． 2 D． 2或一2

考点： 等比数列的前n项和．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 利用等比中项的性质计算即得结论．

解答： 解：设等比数列{an}的公比为q，则q=
=2或﹣2，

∴a4=
=1，

∴a1a7=a2a6=a3a5=
=1，

∴T7=1，

故选：A．

点评： 本题考查等比数列的前几项的积，利用等比中项的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

7．（5分）
=（）

A．
B．
C．
D． 1

考点： 三角函数的化简求值．

专题： 计算题；三角函数的求值．

分析： 由倍角公式和和差化积公式化简后即可求值．

解答： 解：
=
=
=1．

故选：D．

点评： 本题主要考查了倍角公式和和差化积公式的应用，熟记相关公式是解题的关键，属于基础题．

8．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）

A．
B．
C． 1 D．

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 综合题；空间位置关系与距离．

分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．

解答： 解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1，

∴底面△ABC的面积为S1=
×2×1=1，

侧面△PAB的面积为S2=
×
×1=
，

侧面△PAC的面积为S3=
×2×1=1，

在侧面△PBC中，BC=
，PB=
，PC=
，

∴△PBC是Rt△，

∴△PBC的面积为S4=
×
×
=
，

∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最小的是△PAB，为
．

故选：B．

点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．

9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=
，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）

A． 1或
B．
C．
D． 1或

考点： 余弦定理．

专题： 解三角形．

分析： 在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，把AB与AD，cos∠ABC的值代入求出BD的长，进而确定出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长即可．

解答： 解：在△ABD中，∠ABC=30°，AB=
，AD=1，

由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2AB?BD?cos∠ABC，即1=3+BD2﹣3BD，

解得：BD=1或BD=2，

若BD=1，则BC=2CD=2，

在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=3+4﹣6=1，

解得：AC=1；

若BD=2，则BC=2CD=4，

在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=3+16﹣12=7，

解得：AC=
，

综上，AC的长为1或
．

故选：A．

点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

10．（5分）已知函数f（x）=
，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由题意可得本题即求函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，数形结合可得结论．

解答： 解：由函数f（x）=
，可得f（x﹣2）=
，

关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数，即函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，

如图所示：

数形结合可得函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数为3，

故选：C．

点评： 本题主要考查函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．

二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）

11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为若|x|≠1，则x≠1．

考点： 四种命题间的逆否关系．

专题： 简易逻辑．

分析： 直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．

解答： 解：有否命题的定义可知：命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为：“若|x|≠1，则x≠1”．

故答案为：若|x|≠1，则x≠1．

点评： 本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．

12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量
=（2，1），若
∥
，则实数a的值为5．

考点： 平面向量的坐标运算．

专题： 平面向量及应用．

分析： 根据平面向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值．

解答： 解：∵点A（1，2），B（a，4），向量
=（2，1），

∴
=（a﹣1，2）；

又
∥
，

∴（a﹣1）﹣2×2=0，

解得a=5，

∴实数a的值为5．

故答案为：5．

点评： 本题考查了平面向量的坐标表示与平面向量的平行问题，是基础题目．

13．（5分）已知实数x，y满足条件
，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为3．

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=
x﹣
，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．

解答： 解：由题意作出其平面区域，

将z=x﹣2y化为y=
x﹣
z，

显然直线过（1，0）时，z最大，z最大值=1，

直线过（0，1）时，z最小，z最小值=﹣2，

故答案为：3．

点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．

14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为{﹣1，0}．

考点： 抽象函数及其应用．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据抽象函数，判断函数的奇偶性，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．

解答： 解：令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），

解得f（0）=0，

令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，

即f（﹣x）=﹣f（x），

∴函数f（x）是奇函数，

若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，

则﹣f（2）﹣m2﹣m+4=0，

即f（2）=﹣m2﹣m+4=﹣（m+
）2+
，

令x=y=1，则f（1+1）=f（1）+f（1），

即f（2）=2f（1）≥4，

即﹣m2﹣m+4≥4，

即﹣m2﹣m≥0．

则m2+m≤0，

解得﹣1≤m≤0，

∵m是整数，∴m=﹣1或0，

故m取值的集合为{﹣1，0}，

故答案为：{﹣1，0}．

点评： 本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．

15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：

①
?
的最小值为一1；

②△OBC面积的最大值为1；

③若a=
，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；

④若a=
，且
=λ
（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=
；

⑤若a=
，且
=
，圆O上的点D满足
，则直线BC的斜率是
．

其中正确的是⑤（写出所有正确命题的编号）．

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 直线与圆；简易逻辑．

分析： ①设C（cosθ，sinθ）（θ∈（cosθ，sinθ），θ∈时，求函数：y=f（x）﹣
的零点．

考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： （I）由条件利用三角恒等变换函数f（x）的解析式，为f（x）=sin（ωx+
），由函数f（x）的最小正周期T=
=4π，求得ω=
的值．

（Ⅱ）当条件求得sin（
x+
）=
，可得
x+
=2kπ+
或
x+
=2kπ+
，由此求得x的值．

解答： 解：（I）函数f（x）=sinωx+cos（ωx+
）=sinωx+
cosωx﹣
sinωx

=
sinωx++
cosωx=sin（ωx+
），

且函数f（x）的最小正周期T=
=4π，

∴ω=
，f（x）=sin（
x+
）．

（Ⅱ）当x∈时，由f（x）﹣
，

可得sin（
x+
）=
，

∴
x+
=2kπ+
或
x+
=2kπ+
，

求得x=4kπ﹣
，或 x=4kπ+π，k∈z，

∵x∈，

∴x=﹣
，或x=π．

点评： 本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．

17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足

∴AD∥MF，AD=MF，

∴四边形ADFM是平行四边形，

∴AM∥DF，

∵AM?面ABE，DF?面ABE，

∴DF∥面ABE；

（Ⅱ）解：由△BCE为等边三角形，面BCE⊥面ABCD，BC=2，

可得点E到平面ABCD的距离为
，

∴点F到平面ABCD的距离为
，

∵ABCD为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，

∴S△BCD=
，

∴VB﹣CDF=VF﹣BCD=
．

点评： 本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B一CDF的体积，证明四边形ADFM是平行四边形是关键．

19．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=n（an+4）（n∈N*）

（I）设a2=5，求a4；

（Ⅱ）设a2=t，若当且仅当n=5时Sn取得最大值，求实数t的取值范围．

考点： 数列递推式．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： （I）通过对2Sn=n（an+4）（n∈N*）中令n=1，3，4，结合a2=5计算即得结论；

（Ⅱ）通过2Sn=n（an+4）（n∈N*）可得当n≥2时，有2Sn﹣1=（n﹣1）（an﹣1+4）（n∈N*），两者相减可得（n﹣2）an=（n﹣1）an﹣1﹣4，进而有（n﹣1）an+1=nan﹣4，两者相减可得数列{an}为等差数列，计算即得结论．

解答： 解：（I）∵2Sn=n（an+4）（n∈N*），a2=5，

∴当n=1时，可得a1=4；

当n=3时，2（a1+a2+a3）=2（4+5+a3）=3（a3+4），即a3=6；

当n=4时，可得2（a1+a2+a3+a4）=2（4+5+6+a4）=3（4+a4），即a4=7；

（Ⅱ）∵2Sn=n（an+4）（n∈N*），

∴当n≥2时，有2Sn﹣1=（n﹣1）（an﹣1+4）（n∈N*），

两式相减可得：2an=nan﹣（n﹣1）an﹣1+4，

即（n﹣2）an=（n﹣1）an﹣1﹣4，

又∵（n﹣1）an+1=nan﹣4，

两式相减可得：（n﹣1）an+1+（n﹣1）an﹣1=（2n﹣2）an（n≥2），

∴an+1+an﹣1=2an（n≥2），

即an+1﹣an=an﹣an﹣1（n≥2），即数列{an}为等差数列，

在2Sn=n（an+4）中令n=1可得a1=4，

又a2=t，∴数列{an}的公差为t﹣4，

∴an=（t﹣4）n+8﹣t，

当且仅当n=5时，Sn取得最大值，等价于a5＞0且a6＜0，

即t＞3，且t＜
，故t∈（3，
）．

点评： 本题考查是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

20．（13分）已知函数f（x）=
（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣
．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

专题： 导数的概念及应用；导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得a，b的方程，解方程可得a=e，b=1﹣e；

（Ⅱ）求出f（x）的导数，由x=e，求得导数，再由x＞e，结合对数的性质可得减区间，由0＜x＜e可得增区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=
的导数为f′（x）=
（x＞0），

由f′（1）=2﹣
，得
=2﹣
，由a+b=1，可得
=2﹣
，

即
=
，由a＞b，a
，则a=e，b=1﹣e；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=
（x＞0），

即f′（x）=
（x＞0），

由x=e时，f′（e）=0，且x＞e，e﹣x＞0，ex（1﹣lnx）＜0，

故f′（x）＜0，同理0＜x＜e，f′（x）＞0，

于是函数的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．

点评： 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用函数的性质是解题的关键，属于中档题．

21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：
=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）如果点C满足3
+2
=
，当k=
时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC平分线所在直线的方程．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）先求出b，再利用求∠FAB=30°，求出c，可得a，即可求出椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）当k=
时，将直线l：y=
x+
与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，求出P，B，C的坐标，可得直线PB，PC的方程，利用Q到PB，PC的距离相等，求出Q的坐标，即可求出求∠BPC平分线所在直线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，A（﹣1，0），所以b=1，

因为tan∠FAB=
=
，

所以c=
，

所以a2=
，

所以椭圆E的标准方程为
；

（Ⅱ）当k=
时，将直线l：y=
x+
与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，

所以P的横坐标为
，即P（
，1）．

因为B（1，0），3
+2
=0，

所以C（﹣1.5，0），

所以直线PB的方程为2x+y﹣2=0，直线PC的方程为x﹣2y+1.5=0．

令Q（t，0）为∠BPC平分线与x轴的交点，则Q到PB，PC的距离相等，即
，

所以t=
或t=
．

考虑到Q在B，C之间，则t=
，即Q（
，0），

所以∠BPC平分线所在直线的方程为6x﹣2y﹣1=0．

点评： 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org