参考公式：

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；

如果事件A，B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）．

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，若
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数
在复平面上分别对应点
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

3．下列推断错误的是（　　）

A．命题“若
则
”的逆否命题为“若
则
”

B．命题p：存在
，使得
，则非p：任意
，都有

C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题

D．“
”是“
”的充分不必要条件

4．某调查机构对某地区小学学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟，有
名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是
，则平均每天做作业的时间在
～
分钟（包括60分钟）内的学生的频率是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知
是公差不为0的等差数列
的前项和，且
成等比数列，则
等于（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

6．设
表示三条直线，，
，表示三个平面，给出下列四个命题：

①若
，
，则
；②若
，是
在
内的射影，
，则
；

③若
，
，则
；④若⊥，
⊥，则∥
．

其中真命题为 （ ）

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④

7．R上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）

A． B．
C．
D．

8．如图，函数
的图象为折线
，设
，则函数
的图象为 （ ）

9．双曲线
的离心率为2，则
的最小值为 （ ）

A．2 B．
C．
D．

10．设平面点集
，则
所表示的平面图形的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为
，则购鞋尺寸在
内的顾客所占百分比为______．

12．阅读程序框图，则输出的数据
为________．

13．
的展开式中
的系数为_____________．

14．设为抛物线
的焦点，过点
的直线
交抛物线
于两点
，点
为线段
的中点，若
，则直线的斜率等于______________．

15．若集合
满足
，则称
为集合的一种拆分．已知：

① 当
时，有
种拆分；

② 当
时，有
种拆分；

③ 当
时，有
种拆分；……

由以上结论，推测出一般结论：

当
有___________种拆分．

三、解答题：本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，角，，
对应的边分别是，
，．已知
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
的面积
，
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位:元），求X的分布列及数学期望．

18．（本小题满分12分）

已知
，数列
满足
，数列
满足
；又知数列
中，
，且对任意正整数
，
．

（Ⅰ）求数列
和数列
的通项公式；

（Ⅱ）将数列
中的第
项，第
项，第
项，……，第
项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
（其中s+m=n），求数列
的前
项和．

19．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
，是
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）试问线段
上是否存在点，使
与
成
角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知
，函数
．

（Ⅰ）记
求
的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使函数
在区间
内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系
中，设点
（
），直线
：
，点在直线
上移动，是线段
与轴的交点，过、分别作直线
、
，使
，

．

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）在直线
上任取一点
做曲线
的两条切线，设切点为、，求证：直线
恒过一定点；

（Ⅲ）对（Ⅱ）求证：当直线
的斜率存在时，直线
的斜率的倒数成等差数列．

2015届山东省滕州市善国中学高三4月模拟考试

数学理试题参考答案

解答题

17．（本小题满分12分）

设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=（AB）∪（CD）,且AB与CD互斥,

∴P（E）=P（AB）+P（CD）=P（A）P（B|A）+P（C）P（D|C）=
+
=

（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800,并且

P（X=400）=1-
=
,P（X=500）=
,P（X=800）=
=
,

∴X的分布列为

X

400

500

800



P









EX=400×
+500×
+800×
=506.25

18．（本小题满分12分）

解：
,

，

又由题知：令
，则
,


，

若
，则
，
，所以
恒成立。

若
,当
,
不成立,所以
。

（Ⅱ）由题知将数列
中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列
中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是
，
公比均是


。

（2）由
是直三棱柱，且
，故
两两垂直．

如图建立空间直角坐标系
．设
，

则

所以
，

设平面
的法向量为
，则有

所以
取
，得
．

易知平面
的法向量为
．

由二面角
是锐角，得
．

所以二面角
的余弦值为
．

（3）假设存在满足条件的点．因为在线段
上，
，
，故可设
，其中
．所以
，
．

因为
与
成
角，所以
．

即
，解得
，
舍去．

所以当点为线段
中点时，
与
成
角。

20．（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）

（II）由前知,y=f（x）的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点
满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且
.

不妨设

所以,当
时,函数
在区间
内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.

（Ⅱ）设
，两切点为
，

由
得
，求导得
．

∴两条切线方程为
①
②

对于方程①，代入点
得，
，又
,

∴
整理得：
，

同理对方程②有
，即
为方程
的两根．

∴
③

设直线
的斜率为
，
，

所以直线
的方程为
，展开得：

，代入③得：

，∴直线恒过定点
．

（Ⅲ） 证明：由（Ⅱ）的结论，设
，
，
，

且有
，

∴
，

∴

=
，

又∵
，

所以
。

即直线
的斜率倒数成等差数列．