2015届山东省济宁市金乡县第二中学高三4月质量检测数学（文）试题

第Ⅰ卷 （选择题,共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。

1．集合
，
,
,则
等于

A．
B．
C．
D．

2．若复数
（
，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为

A．-6 B．13 C．
D．

3．
“是函数
在区间
内单调递增”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．
表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若∥M，
∥M，则∥
或
相交或
异面；②若
M，∥
，则∥M；③⊥，
⊥，则∥
；④⊥M，
⊥M，则∥
。其中正确命题为

A．①④ B．②③ C．③④ D．①②

5．读下面程序框图，该程序运行后输出的A值为

A．
B．
C．
D．

6．计算

A．
　 B．
C．
　 　 D．

7．已知双曲线
的一个焦点在圆
上，则双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

8．设函数
，则下列结论正确的是

A．
的图像关于直线
对称 B．
的图像关于点
对称

C．
的最小正周期为
D．
在
上为增函数

9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为

A．
B．

C．
D．

10．已知正数a, b满足4a＋b=30，使得
取最小值的实数对（a, b）是

A．（5，10） B．（6，6） C．（10，5） D．（7，2）

11．已知偶函数
在区间
上满足
，则满足
的的取值范围是

A．
B．

C．
D．

12．关于x的方程ex－1－|kx|=0（其中e=2．71828…是自然对数的底数）的有三个不同实根，则k的取值范围是

A．{-2，0，2} B．（1，+∞） C．{k | k>e} D．{k | k2＞1}

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上。

13． 设变量x, y满足约束条件
，则目标函数z=2y－x的最小值为 ．

14．已知向量
，且∥，则实数的值是 。

15．设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a, b, c，若△ABC的面积为

S = a2－（b－c）2，则
= ．

16．给出下列命题：

① 抛物线
的准线方程是
；

② 在进制计算中，

③ 命题：“
”是真命题；

④ 已知线性回归方程
，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；

⑤ 设函数
的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是 个。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列
是公差不为0的等差数列，a1 = 2且a2 , a3 , a4＋1成等比数列。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（II）设
，求数列
的前项和

18．（本小题满分12分）

某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间。按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，由统计的数据得到的频率分布直方图如图2所示，下表是年龄的频率分布表。

区间













人数



a

b







（Ⅰ）求正整数a，b，N的值；

（II）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组中抽取的人数分别是多少？

（III）在（II）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1 人在第3组的概率。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，PA = 2AB = 2。

（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB; （ II ）求四面体PACE的体积．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的一个顶点为B（0，4），离心率
，直线
交椭圆于M，N两点。

（Ⅰ） 若直线
的方程为
，求弦MN的长；

（II）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线方程的一般式。

21．（本小题满分12分）

已知函数
。

（Ⅰ）若
，求
在
处的切线方程；

（II）若
在R上是增函数，求实数的取值范围。

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时必须用2B铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑，请勿多涂、漏涂。

22．（本小题满分10分） 《选修4—1：几何证明选讲》

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5。

求：（I）⊙O的半径；

（II）sin∠BAP的值。

23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为
（为参数），点Q的极坐标为
。

（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；

（II）若直线
过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线
的直角坐标方程。

24．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》

已知函数
，
。

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（II）若不等式
有解，求实数的取值范围。

2015届山东省济宁市金乡县第二中学高三4月质量检测

数学（文）试题参考答案

一、选择题

1—12：CACAC BBDCA DD

二、填空题

13．—9； 14．
； 15．4； 16．4

三．解答题：解答题的解法不唯一，请阅卷教师参考评分标准酌情给分！

17．解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，

由
和
成等比数列，得

解得
或
………………………2分

当
时，
，这与
成等比数列矛盾舍去

所以
………………………4分

∴
。即数列
的通项公式为
6分

（Ⅱ）
……………………… 7分

……………………… 9分

∴

………………… 11分

………………………12分

18．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，
与
两组的人数相同，

所以
人． ………………………………1分

且
人． ……………………………2分

总人数
人． ………………………3分

（Ⅱ）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取
人，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为
， ……………………………4分

第2组的人数为
， ……………………………5分

第3组的人数为
， ……………………………6分

所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．…………………………7分

（3）由（2）可设第1组的1人为，第2组的1人为，第3组的4人分别为
，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

共有
种． ……………………………9分

其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：

，
，
，
，
，
，
，
，

共有8种． ……………………………11分

所以恰有1人年龄在第3组的概率为
．………………………………12分

19．解：（Ⅰ）法一： 取AD得中点M，连接EM,CM．

则EM//PA ……………………………1分

因为

所以，
……………………… 2分

在
中，

所以，

而
,所以,MC//AB．……………………… 3分

因为

所以，
……………………… 4分

又因为

所以，

因为
…… 6分

法二： 延长DC,AB,交于N点，连接PN．……1分

因为

所以，C为ND的中点． ………………………3分

因为E为PD的中点，所以，EC//PN

因为

………………………6分

（Ⅱ）法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=
………… 7分

因为，
，所以，
……………… 8分

又因为

所以，
………………………10分

因为E是PD的中点

所以点E平面PAC的距离
，

所以，四面体PACE的体积
……12分

法二：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=

因为，

所以，
……………… 10分

因为E是PD的中点

所以，四面体PACE的体积
……………… 12分

本题解法较多，请阅卷教师按评分标准酌情给分

20．解：（Ⅰ）由已知
，且
，即
…2分

∴椭圆方程为
………………………3分

由
与
联立，消去得

∴
……………………… 5分

∴所求弦长
……………………… 6分

（Ⅱ）椭圆右焦点F的坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（
）

由三角形重心的性质知
，又B（0，4）

∴
，故得
，

所以得Q的坐标为（3，-2）……………………… 8分

设
，则
且
，
两式相减得

∴
………………… 10分

故直线MN的方程为
，即
…………… 12分

21．解：（Ⅰ）由
，得
，
…………2分

所以
，
……………………4分

所以所求切线方程为
，

即
………………………6分

（Ⅱ）由已知
，得
……………7分

因为函数
在R上增函数，所以
恒成立

即不等式
恒成立，整理得
……………… 8分

令
，∴
。

当
时，
，所以
递减函数，

当
时，
，所以
递增函数 ………………… 10分

由此得
，即的取值范围是
………… 12分

22．（Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以
,

又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15 ………2分．

因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7．5． ………4分

（Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB, ………5分

又由∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴
………7分

设AB=k，AC=2k, ∵BC为⊙O的直径，

∴AB⊥AC∴
………8分

∴sin∠BAP=sin∠ACB=