2015届山东省济宁市金乡县第二中学高三4月质量检测数学（理）试题

第Ⅰ卷 （选择题,共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。

1．集合
，
,
,则
等于

A．
B．
C．
D．

2．若复数
（
，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为

A．-6 B．13 C．
D．

3．
“是函数
在区间
内单调递增”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．
表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若∥M，
∥M，则∥
或
相交或
异面；②若
M，∥
，则∥M；③⊥，
⊥，则∥
；④⊥M，
⊥M，则∥
。其中正确命题为

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

5．读下侧程序框图，该程序运行后输出的A值为

A．
B．
C．
D．

6．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以
平面为投影面的正视图的面积为

A．
B．
C． D．

7．已知双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且其渐近线的方程为
,则该双曲线的标准方程为

A．
B．
C．
D．

8．设函数
，则下列结论正确的是

A．
的图像关于直线
对称

B．
的图像关于点
对称

C．把
的图像向左平移
个单位，得到一个偶函数的图像

D．
的最小正周期为，且在
上为增函数

9．在
的展开中，的幂指数是整数的项共有

A．6项 B．5项 C． 4项 D．3项

10．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
是定义在上的偶函数，
为奇函数，
，当
时，
log2x，则在
内满足方程
的实数为

A．
B．
C．
D．

12．若关于x的方程
有五个互不相等的实根，则k的取值范围是

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作
答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上。

13．设变量x, y满足约束条件
，则目标函数
的最小值为 。

14．已知直角△ABC中, AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量
在
上的投影为 。

15．已知
中，角
所对的边长分别为
，且角
成等差数列，
的面积
，则实数
的值为 。

16．给出下列命题：

① 已知线性回归方程
，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；

② 在进制计算中，
；

③ 若
，且
，则
；

④ “
”是“函数
的最小正周期为4”的充要条件；

⑤ 设函数
的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是 个。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，
．

（I）求数列
的通项公式；（II）设
log2an＋1 ，求数列
的前项和
。

18．（本小题满分12分）

如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2。

（I）求证：BC⊥平面A1DC；

（II）若CD = 2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值。

19．（本小题满分12分）

为迎接2013年“两会”（全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日）的胜利召开，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金元，正确回答问题B可获奖金元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。

（I）求椭圆C的方程；

（II）若过点M（2，0）的直线与椭圆C交于两点A和B，设P为椭圆上一点，且满足

·
（O为坐标原点），当
时，求实数t取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知函数

（I）若函数
在其定义域内为单调函数，求a的取值范围;

（II）若函数
的图像在x=1处的切线斜率为0，且

，（
，
）

证明：对任意的正整数n, 当
时，有
．

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时必须用2B铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑，请勿多涂、漏涂。

22．（本小题满分10分） 《选修4—1：几何证明选讲》

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5。

求：（I）⊙O的半径；

（II）sin∠BAP的值。

23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为
（为参数），点Q的极坐标为
。

（I）化圆C的参数方程为极坐标方程；

（II）直线过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线的直角坐标方程。

24．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》

已知函数
，
。

（I）求不等式
的解集；

（II）若不等式
有解，求实数的取值范围。

2015届山东省济宁市金乡县第二中学高三4月质量检测

数学（理）试题参考答案

一、选择题

1—12：CACDC ACCBB CD

填空题

13．—9； 14．
； 15．
； 16．4

三、解答题：解答题的解法不唯一，请阅卷教师参考评分标准酌情给分！

17．解：（Ⅰ） 当
时，
， ………………… 1分

当
时，
………………… 3分

即：
，数列
为以2为公比的等比数列 ………………5分

………………………6分

（Ⅱ）
………………………7分

…………………… 9分

两式相减，得

…………………… 11分

…………………………… 12分

18．解：（Ⅰ） DE
，DE//BC， BC
…………2分

又
，AD

…………4分

（Ⅱ）以D为原点，分别以
为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系D-xyz …………5分

说明：建系方法不唯一 ，不管左手系、右手系只要合理即可

在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3…………6分

B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0） …………8分

…………9分

设平面A1BC的法向量为

令y=1,
…10分

设BE与平面A1BC所成角为
，
…………12分

19．解：（Ⅰ）该参与者随机猜对问题A的概率

随机猜对问题B的概率
． ……………………1分

回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

①先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额
的可能取值为
，2分

则
，

，

． ……………………………3分

数学期望
． ……………5分

②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的可能取值为
，…6分

则
，

，

． ……………………………9分

数学期望
． ……………10分

．

于是，当
时，
，即先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额的期望值较大；

当
时，
，无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值相等；

当
时，
，即先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值较大． ……………………………………12分

20．解：（Ⅰ） 由题意知，短半轴长为：
， …………1分

∵
，∴
，

即
，∴
， ……… …………………2分

故椭圆
的方程为：
． ………………3分

（Ⅱ）由题意知，直线
的斜率存在，设直线
：
，……4分

设
，
，
，

由
得，
．…………5分

，解得
． …………6分

．

∵
，∴
，解得
，
． ………………7分

∵点在椭圆上，∴
，

∴
． ………………………8分

∵
，∴
，

∴
，∴
，

∴
，∴
…………………10分

∴
，∵
，∴
，

∴
或
，

∴实数取值范围为
． ………………12分

21．解：（Ⅰ） 函数
的定义域是
　　　　　　　　　

因为
所以有
所以
　………………1分

　　　　　 ………………2分

1．当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递减; …3分

2．当
时，若函数
在其定义域内单调递增，

则有
恒成立即

因为
所以
且
时
不恒为0． ………………4分

若函数
在其定义域内单调递减，则有
恒成立即

因为
所以

综上，函数
在定义域内单调时的取值范围是
　……5分

（Ⅱ）因为函数
的图像在x=1处的切线斜率为0，所以

即
所以

所以
　　　　　 ………………………………6分

令
　说明：此处可有多种构造函数的方法，

所以
……7分　常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数

当是偶数时，因为
所以
　　可参照答案所示　每种情况酌情赋2－3分

所以

所以
即函数
在
单调递减

所以
，即
　　　　 ………………………9分

当是奇数时，令
则

所以函数
在
单调递减，所以
……10分

又因为
时
所以

所以
即函数
在
单调递减 ………………11分

所以
，即

综上，对任意的正整数n,当
时，有
．………………12分

22．（Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以
,

又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15 ………2分．

因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7．5． ………4分

（Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB, ………………5分

又由∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴
………7分

设AB=k，AC=2k, ∵BC为⊙O的直径，

∴AB⊥AC∴
………………8分

∴sin∠BAP=sin∠ACB=
………………10分

23．解：（Ⅰ）

圆C的