宁夏中宁一中2015届高三年级第一次调研考试

文科数学试卷

考试时间；120分钟 试卷分值；150分

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1、已知集合
，
，则
（ ）

A.
B．
C．
D．

2、设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)

A．－5 B．5 C．－4＋I D．－4－i

3、设变量x, y满足约束条件
则目标函数z = y－2x的最小值为（ ）

(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2

4、已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝，则cos的值为 (　　)

A. B．－ C. D．－

5、已知命题
在命题

①
中，真命题是（ ）

A①③ B.①④ C.②③ D.②④

6、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x

7、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)

A．101 B．808 C．1 212 D．2 012

8、函数y＝的图象大致是 (　　)

9、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)

A．f(x)在单调递减 B．f(x)在单调递减

C．f(x)在单调递增 D．f(x)在单调递增

10、运行如图1-1的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝(　　)

图1-1

A. B. C. D.

11、设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为 (　　)

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

12、一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　　)

A．12π B．24π C．16π D．48π

二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)

13、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

14、已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．

15、△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.

16、已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{
}中，
，又
成等比数列.

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式. zx

（Ⅱ）设
，求数列{
}的前n项和
.

18、(本小题满分12分) 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．

19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，BC＝，D、E分别为AB、OB的中点．

(1)求证：CO⊥平面AOB.

(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC？若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由．

20、(本小题满分12分) 已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

21.(本小题满分12分)　已知函数f(x)＝x2＋aln x.

(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋在本小题满分10分.

已知动点
都在曲线

为参数
上,对应参数分别为
与
,
为
的中点.

(Ⅰ)求
的轨迹的参数方程;

(Ⅱ)将
到坐标原点的距离
表示为
的函数,并判断
的轨迹是否过坐标原点.

24、选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

设函数
,其中
.

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若不等式
的解集为
，求a的值.

宁夏中宁一中2015届高三年级第一次调研考试文科数学试参考答案

一、1-5 CAABC 6-10 CBCAD 11-12 CC

二、13．1 14．{x|－7

三、17．【答案解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）

解析 ：解：（Ⅰ）∵等差数列{an}中，
成等比数列，∴
即
------------------2分

整理得：
即
------------------4分
又

则数列{an}的通项公式为
------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，因为
------------------9分

所以
是以
为首项，以8为公比的等比数列，所以
---12分

18解　(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～180 cm之间，因此乙班平均身高高于甲班，其中甲＝＝170，

乙＝＝171.1.

(2)甲班的样本方差为＝57.2.

(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A.

从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件， ∴P(A)＝＝.

19、解析　(1)证明　因为AO⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO，即△AOC与△AOB为直角三角形．又因为∠OAB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，所以OB＝OC＝1.由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC为直角三角形．所以CO⊥BO，又因为AO∩BO＝O，所以CO⊥平面AOB.

(2)在线段CB上存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，此时F为线段CB的中点．

如图，连接DF，EF，因为D、E分别为AB、OB的中点，所以DE∥OA.

又DE?平面AOC，所以DE∥平面AOC.因为E、F分别为OB、BC的中点，所以EF∥OC.又EF?平面AOC，所以EF∥平面AOC，

又EF∩DE＝E，EF?平面DEF，DE?平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC.

20、解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则b＝2.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)当∠APQ＝∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，

则PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，由整理得 (3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0， x1＋2＝，

同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，可得x2＋2＝＝.

∴x1＋x2＝，x1－x2＝， kAB＝＝

＝＝，∴直线AB的斜率为定值.

21、解　(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，故f(x)的单调递减区间是(0,1)．

(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．

①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，

即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2，∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.

②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．

22、(Ⅰ)证明：
、
、
、
四点共圆

．

且
,

．………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,又
,

所以
与
相似,

，…………7分

又
,　　
，

根据割线定理得
，……………9分

．……………10分

23

24、（Ⅰ）当
时，
可化为
.

由此可得
或
.

故不等式
的解集为
或
.

(?Ⅱ) 由
得

此不等式化为不等式组
或

即
或
因为
，所以不等式组的解集为

由题设可得
=
，故
.

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