江西玉山县仙岩中学2016届高三数学（文科）第1次模拟测试

(满分150分，时间120分钟 全国卷模式)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1．复数
的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

2．设函数
的定义域为A，值域为B，则
=

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“
”的

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．等差数列
中，
，则

A．8 B．12 C．16 D．24

5．运行如图的程序框图，若输出的结果是
，则判断框中可填入

A．
B．
C．
D．

6．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是

7．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=

A．
B．
C．
D．

8．若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则
的方程为

A．
B．
C．
D．

9．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点
与点
重合，则与点
重合的点是

A．
B．
C．
D．

10．已知向量
满足
，
，
，则
与
的夹角为

A．
B．
C．
D．

11. 设双曲线
的渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为

A．
　　 B．2　　　　 C．
　 D．

12. 设
为抛物线

上不同的两点，
为坐标原点,且
,则
面积的最小值为

A．
B．
C．
D．

填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．双曲线
的焦点坐标是_____________ 。

14．不等式
的解集是 ．

15若关于
的不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则
的取值范围是 ．

16．若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为 。

解答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题.

17．（本题满分12分）

在正项等比数列
中，公比
，
且
和
的等比中项是2．

（1）求数列
的通项公式；

（2） 若
，判断数列
的前
项和
是否存在最大值，若存在，求出使
最大时
的值；若不存在，请说明理由。

18.（本小题满分12分）

汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税。检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）。

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为
。

（1） 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率是多少？

（2） 求表中
的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性。

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、E、F分别是PC、AC、BC的中点。

（1） 证明：平面DEF//平面PAB；

（2） 证明：


；

（3）若
，求三棱锥
的体积。

20．（本小题满分12分）

已知顶点为原点O的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合，
与
在第一和第四象限的交点分别为A、B．

(1) 若△AOB是边长为
的正三角形，求抛物线
的方程；

(2)若
，求椭圆
的离心率
；

(3) 点
为椭圆
上的任一点，若直线
、
分别与
轴交于点
和
，证探究：当
为常数时，
是否为定值？请证明你的结论．

21．（本小题满分12分）

已知
．

(1) 若
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

(2) 若
,求证：当
时，
恒成立；

(3) 设
，证明：
。

22．(几何证明选讲选做题)

如图，
边AB上的高，

（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；

（2）若CQ=4，AQ=1，PF=
，求CB的长.

23．（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
是参数

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

24．(不等式选讲选做题)

已知函数

（1）解不等式
;

（2）设
，对任意
都有
，求
的取值范围.

江西玉山县仙岩中学2016届高三数学（文科）第1次模拟测试答案

一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

C

B

C

C

A

A

D

C

C





二．填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．

13．
14．
15.
16. 72

三．简答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题.

17.解: （1）依题意：
，……………………………………………1分

又
，且公比
，

解得
。

∴
，……………………………………………3分

∴
，…………………………………………4分

∴
。……………………………………………5分

（2）∵
，

∴
。…………………………6分

∵当
时，
，当
时，
，当
时，
。……………8分

∴
。……………………………………10分

∴
有最大值，此时
或
。………………………………………12分

18．解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：

（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）。 ………………. 2分

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：

（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）

∴
。

答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7。………………. 6分

（2）由题可知，
，

解得
。……………………….7分

又
……………………………………. 8分

∴
，

∴
，…11分

∵

∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。……………………………12分

19、解：（1）证明：∵ E、F分别是AC、BC的中点，

∴
…………………………………1分

∵

∴
…2分

∵
…3分

∴
……………4分

（2）证明：取
的中点
，连结
、
，

∵ △
和△
都是以
为斜边的等腰直角三角形，

∴

∵

∴
……………………………5分

∵
∴
…………………………6分

（3）解：在等腰直角三角形
中，
，
是斜边
的中点，

∴
同理
。……………………………8分

∵
∴ △
是等边三角形，

∴
…………10分

∵

∴
……………………12分

20、解：（1）设椭圆的右焦点为
，依题意得抛物线的方程为
……1分

∵△
是边长为
的正三角形，

∴点A的坐标是
，，……………………2分

代入抛物线的方程
解得
，

故所求抛物线
的方程为
。………………………3分

（2）∵
, ∴ 点
的横坐标是

代入椭圆方程解得
，即点
的坐标是
，……………………4分

∵ 点
在抛物线
上，

∴
，………………5分

将
代入上式整理得：
，

即
，解得
。…………………………6分

∵
，故所求椭圆
的离心率
。…………………………7分

（3）证明：设
，代入椭圆方程得

，…………………………8分

而直线
的方程为
，……………9分

令
得
。……………………10分

在
中，以
代换
得
，…………………11分

∴

∴当
为常数时，
是定值。…………………………12分

21解：(1)当
时，

∴
。.…………………………1分

∵
有单调减区间，∴
有解，即

∵
，∴