邹城一中2016届 4月检测模拟检测

数学（理）试题

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合
，集合
，则图中阴影部分表示（ ）

A、
B、

C、
D、

2．设
为虚数单位且的共轭复数是
，若
，则
的虚部为（ ）

A、
B、
C、2 D、

3.已知
服从正态分布
，则“
”是“关于
的二项式
的展开式的常数项为3”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件

4.已知函数
是偶函数，且
（ ）

A.-1 B.1 C.-5 D.5

5.若正数
满足
，则
的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6.执行右面的程序框图，如果输入的
在
内取值，则输出的
的取值

区间为（ ）

A．
B．

C．
D．

7.若实数
满足
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少得到1本，则不同的分法有（ ）

A．24种 B．28种 C．32种 D．16种

9．如图，将绘有函数
部分图象的纸片沿
轴折成直二面角，若
之间的空间距离为
，则
（ ）

A、

B、2

C、

D、

10.如图，
是双曲线
在左、右焦点，过
的直线
与双曲线的左右两支分别交于点
．若
为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A．4 B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.

11.
的展开式中
的系数为______________.（用数字作答)．

12.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是______________.（单位:
）．

13．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足
，则
＝ ．

14. 已知P,A,B,C是球O球面上的四点，
是正三角形，三棱锥
的体积为
，且
,则球O的表面积为______________.

15．已知函数
，存在
，
，则
的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16．（本小题满分12分）

已知函数f(x) =2cosx(sinx-cosx)+m (m∈R)，将y=f(x)的图像向左平移
个单位后得到y=g(x)的图像，且y=g(x)在区间[0,
]内的最大值为
．

(l)求实数m的值；

(Ⅱ)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若g(
B)=l，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．

17．（本小题12分）

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC,交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.

(1)证明：EM⊥BF；

(2)求平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分12分）

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如右图）。已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间
的有8人。

（1）图中
的值为 ；

（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时长；

（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为
，求
的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

已知正项数列
，其前
项和
满足
且
是
和
的等比中项.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ) 符号
表示不超过实数
的最大整数，记
，

求
.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
：
的离心率为
，焦距为
，抛物线
：
的焦点
是椭圆
的顶点．

（Ⅰ）求
与
的标准方程；

（Ⅱ）
上不同于
的两点
，
满足
，且直线
与
相切，求
的面积．

21.（本小题满分14分）

已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求
的取值范围；

（2）记两个极值点分别为
，且
．已知
，若不等式
恒成立，求
的范围．

邹城一中2016届 4月检测模拟检测 答案

一、选择题

1、A 2、A 3、A 4、D 5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、B

二、填空题

11、 20 12、
13、
14、
15、

三、解答题

16．解：（Ⅰ）由题设得
，

，

因为当
时，
，

所以由已知得
，即
时，
，

所以
； ………6分

（Ⅱ）由已知
，因为三角形中
，

所以
，所以
，即
，

又因为
，由余弦定理得：

，

当且仅当
时等号成立，

又
，
，所以
的周长
，

故△ABC的周长l的取值范围是
． ………12分

17.（1）证法一:
,
,又∵BM⊥AC,

①

而

,
,

即

∴
②
③ 由①②③得

∴EM⊥BF

证法二：在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝30°

∴AB＝2，BC＝2，又BM⊥AC

则AM＝3，BM＝.如图，以A为坐标原点，过点A垂直于AC的直线为x轴，AC、AE所在的直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系．由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，∴＝(0，－3,3)，＝(－，1,1)．

由·＝(0，－3,3)·(－，1,1)＝0，得⊥，∴EM⊥BF.

(2)由(1)知＝(－，－3,3)，＝(－，1,1)．

设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，

由n·＝0，n·＝0，得

令x＝得y＝1，z＝2，∴n＝(，1,2)，

由已知EA⊥平面ABC，所以取面ABC的法向量为＝(0,0,3)，

设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，

则cos θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.

19、

20．解：（I）设椭圆
的焦距为
，依题意有
，
，

解得
，
，故椭圆
的标准方程为
. ………………3分

又抛物线
：
开口向上，故
是椭圆
的上顶点，
，

，故抛物线
的标准方程为
. ……………………5分

（II）显然，直线
的斜率存在. 设直线
的方程为
，设
，

，则
，
，

，……………………6分

即
（
）

联立
，消去
整理得，
（
）.

依题意，
，
是方程（
）的两根，
，

，
，……………………7分

将
和
代入（
）得
，

解得
，（
不合题意，应舍去）. ……………………9分

联立
，消去
整理得，
，

令
，解得
. ……………………10分

经检验,
,
符合要求.

此时，
，

. ……………………13分

21．解：（1）依题，函数
的定义域为
，所以方程
在
有两个不同根，即，方程
在
有两个不同根．

转化为，函数
与函数
的图像在
上有两个不同交点．

又
，即
时，
时，
，

所以
在
上单调增，在
上单调减．从而
，．．．．． 3分

又
有且只有一个零点是1，且在
时，
，在
时，
，所以
的草图如下，

可见，要想函数
与函数
的图像在
上有两个不同交点，只须
．．．．．．6分

（2）因为
等价于
．由（1）可知
分别是方程
的两个根，即
，

所以原式等价于
，因为
，

所以原式等价于
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又由
作差得，
，即
．

所以原式等价于
，

因为
，原式恒成立，即
恒成立．

令
，
，则不等式
在
上恒成立．　．．．．10分

令
，又
，

当