东台市三仓中学2016届高三5月月考

数学 试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.

1.设全集
，则
▲ .

2.复数
满足
，则复数
的模
▲ .

3.在区间
上随机地取一个数
，则
的概率为 ▲ .

4.棱长均为2的正四棱锥的体积为 ▲ .

5.一组数据
的平均数是1，方差为2，则
▲ .

6．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出S的值

为 ▲ ．

7．用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体

积为 ▲ ．

8．不等式组
表示的平面区域的面积为2，则实数
的值为 ▲ ．

9．已知函数
，函数
的图象与
轴两个相邻交点的距离为
，则
的单调递增区间是 ▲ ．

10．如图，在直角梯形ABCD中，AB
CD，
，AB = 3，

AD =，E为BC中点，若· = 3，则· = ▲ ．

11.已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为
，直线BF与椭圆的另一交点为M，且
，则该椭圆的离心率为 ▲ .

12．已知实数x，y满足
，
．若
，
，

则
的值为 ▲ ．

13．若存在实数a、b使得直线
与线段
(其中
，
)只有一个公共点，

且不等式
对于任意
成立，则正实数p的取值范围为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线
与
轴，
轴分别交于M，N两点，点P在圆

上运动．若
恒为锐角，则实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）在
中，角
的对边分别为
、
、
，已知
，且
．

（1）求
的面积；

（2）若
，
，
成等差数列，求
的值．

16．（本小题满分14分）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，侧面DCC1D1是菱形，且平面DCC1D1
平面ABCD, ∠D1DC=
，E是A1D的中点，F 是BD1的中点.

求证：EF∥平面ABCD；

若M是CD的中点，求证：平面D1AM⊥平面ABCD．

17.（本题满分14分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，
．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在
上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路
与PQ及QD的总长最小？并说明理由．

18.（本题满分16分）已知定点
，圆C：
，

（1）过点
向圆C引切线，求切线长；

（2）过点
作直线
交圆C于
，且
，求直线
的斜率
；

（3）定点
在直线
上，对于圆C上任意一点R都满足
，试求
两点的坐标.

19.（本小题满分16分）已知函数
,
,函数
为
的导函数.

（1）数列
满足
,求
；

（2）数列
满足
,

① 当
且
时,证明：数列
为等比数列；

② 当
,
0时,证明：
.

20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝xlnx－k(x－1)，k∈R．

（1）当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数y＝f(x)在区间(1，＋∞)上有1个零点，求实数k的取值范围；

（3）是否存在正整数k，使得f(x)＋x＞0在x∈(1，＋∞)上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

数学附加题

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．（选修４－１：几何证明选讲） 如图，
是半圆的直径，
是
延长线上一点，
切半圆于点
，
垂足为
，且
求
的长．

B．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵
.

（1）求矩阵
；

（2）求矩阵
的逆矩阵.

C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线
上两点
的极坐标分别为
,圆
的参数方程
(
为参数).

(1)设
为线段
的中点,求直线
的直角坐标方程；

(2)判断直线
与圆
的位置关系.

D．（选修４－５：不等式选讲） 设
均为正实数，且
，求
的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
面
，点
在棱
上，且
，
，
，
，
，
分别是
的中点．

（1）求证：
；

（2）求截面
与底面
所成的锐二面角的大小.

23．（本小题满分10分）在数列
中，已知
.

（1）求

（2）证明：
.

数学试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.

1.
2．
3.
4.
5. 1 6． 54 7．

8．
9．
10．?????????????????11.

12． 1 13． p
1 14．
或

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（1）由
，则
．…………………………………………… 2分

故cosB
0．又
，所以cosB
．……………………………… 4分

故
．所以
的面积S
acsinB
．………………………… 7分

（2）因为
，
，
成等差数列，所以2ba
c．

在
中，
，

即
．………… 10分

所以
．（*）

由（1）得，
，cosB
，

代入（*）得
，………………………………… 12分

故b2
，b
．……………………………………………………14分

16．（1）连接AD1，因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

四边形ADD1A1是平行四边形，

又因为E是A1D的中点，所以E是AD1的中点，…………………2分

因为F是BD1的中点，所以EF∥AB, …………………………4分

又因为AB
平面ABCD,EF
平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD. …………………………………………………………7分

（2） 连接D1C,在菱形DCC1D1中，因为∠D1DC=60°，

所以△D1DC是等边三角形，

因为M是DC的中点，所以D1M⊥DC，……………………………9分

又因为平面DCC1D1⊥平面ABCD , D1M
平面DCC1D1,

平面DCC1D1
平面ABCD=DC，

所以D1M⊥平面ABCD…………………………………………………………12分

又因为D1M
平面D1AM ，

所以平面D1AM⊥平面ABCD. …………………………………………………………14分

17.（本题满分14分）

连接
, 过
作
垂足为
,

过
作
垂足为

设

，
…………………………………………………………2分

若
，在
中，
；

若
则

若
则

…………………………………………………………4分

在
中，

…………………………………………………………6分

所以总路径长
……………………………8分

…………………………………………………………10分

令
，
；当
时，
；

当
时，
…………………………………………………………12分

所以当
时，总路径最短.

答：当
时，总路径最短. …………………………………14分

18. （1）设切线长为
，由题意，
，圆
的标准方程为
，半径
，

所以
，过点
向圆C所引的切线长为
. ..........................4分

（2）设
，由
知点P是AQ的中点，所以点Q的坐标为
.

由于两点P,Q均在圆C上，故
， ①

，即
， ②

②—①