2015—2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学I 2016.3

一、填空题；本大题共14小矗，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位

置上．

1．已知集合A={x|x<3．x∈R}，B={x|x>l，x∈R），则
．

2．已知i为虚数单位，复数z满足
，则复数z的模为 ．

3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频致

和频率分别为40，0.125．则n的值为 ．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知方程
=1

表示双曲线，则实数m的取值范围为 ．

5．为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机

选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连

续2天的概率是 ．

6．执行如图所示的程序框图，输出的x值为 .

7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的

中点，则四棱锥P - AA1C1C的体积为 ．

8．设数列{an}是首项为l，公差不为零的等差数列，Sn为

其前n项和，若S1，S2，S3成等比数列，则数列{an}的公差

为 。

9．在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)=
(x>0)的图象上任意一点，过M

点向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则
.

10,若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的

取值范围是 ．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线，与圆C：x2+y2-6x+5=0相交

于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线，的距离为

12．已知函数f(x)=
若存在x1，x2∈R，当0≤x1<4≤x2≤6时，

f(x1)=f(x2)．则x1f(x2)的取值范围是 。

13．已知函数f(x)=2x-1+a,g(x)= bf(1-x)．其中a，b∈R，若关于x的不等式

f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a的取值范围是 ．

14．若实数x，y满足x2 -4xy+4y2 +4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，
的值为 ．

二、解答题，本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

已知函数f(x)= sin(2x十
一
sin(2x一
)．

(l)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间：

(2)当x∈[一
,
]时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．

16.（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD

的中点，N是PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAB;

(2)若平面PMC⊥平面PAD．求证：CM⊥AD.

17.（本小题满分14分）

如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，

OC=l，AB=OB+OC，且OA> OB．现设计师在支架OB

上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成

正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）

内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N,且N与△AOC的

面积成正比，比例系数为4
k．设OA =x，OB=y.

(1)求y关于工的函数解析式，并写出x的取值范围；

(2)求N-M的最大值及相应的x的值．

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:
=1（a>b>0）过点(1,
）．离心率为
．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线，与椭圆C交于A，B两点．

①若直线，过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t．

求t的最大值；

②若直线，的斜率为
，试探究OA2+ OB2是否为定值，若是定值，则求出此

定值；若不是定值，请说明理由．

19.（本小题满分16分）

设函数f(x)=x-2ex- k(x-2lnx)（k为实常数．e=2.71828…是自然对数的底数）．

(1)当k=l时，求函数f(x)的最小值：

(2)若函数f(x)在区间(0，4)内存在三个极值点，求k的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知首项为1的正项数列{an}满足

(1)若a2=
，a3=x，a4=4．求x的取值范围；

(2)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}前n项的和，

若
, n∈N*，求q的取值范围：

(3)若a1，a2，…，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+ak=120．求正整数k的最小

值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak的公差．

2015—2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学II（附加题） 2016.3

21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在

答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.选修4-1:几何证明选讲

如图，直线AB与⊙O相切于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为

C，且AD=3DC，BC=.
，求⊙O的直径．

B．选修4-2:矩阵与变换

设M=
．N=
，试求曲线y-=sinx在矩阵MN变换下得到的曲线方程．

C．选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为
(t为参数），以原点O为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2以sinθ.设P为

直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．

D．选修4-5:不等式选讲

己知函数f(x)=
，g(x)=
；，若存在实数xf(x)+g(x)>a成立，求

实数a的取值范围．

【必做题】第22题．第23题．每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AAl=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E

上的一点，D1F=2FE.

(l)证明：平面DFC⊥平面D1EC;

(2)求二面角A-DF-C的大小．

23.（本小题满分10分）

在杨辉三角形中，从第3行开始，除l以外，

其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这

三角形数阵开头几行如右图所示．

(l)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行

中三个相邻的数之比为3：4：57若存在，

试求出是第几行；若不存在，请说明理由：

(2)已知n．r为正整数．且n≥r+3.

求证：任何四个相邻的组合数
，
，

，
不能构成等差数列．

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