高三数学试卷

一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

已知集合M＝{0, 1, 2}，N＝{x|x＝2a, a∈M }，则集合M∩N＝___________．{0,2}

若复数z1＝3＋4i，z2＝a＋i，且z1·是实数（其中为z2的共轭复数），则实数a＝___________．

有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．

“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直”的___________条件．充分不必要

右边程序输出的结果是___________．10

在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则＝____________．

在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则的值是 ．－

在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9―a11的值为_________．48

若sinα＋2cosα＝0，则的值为________．－.

在平面内，若A(1,7)、B(5,1)、M(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，且·＝－8，则cos∠APB＝__________．－．

设f (x)是R上的奇函数，且f (－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)·f ?(x)－2x·f (x)＜0，则不等式f (x)＞0的解集为________ ． (－∞,－1)∪(0,1)．

已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为______．

已知定义在R上的函数f (x)存在零点，且对任意m,n∈R都满足f [m·f (m)＋f (n)]＝f 2(m)＋n，若关于x的方程＝1－logax（a＞0,a≠1）恰有三个不同的根，则实数a的取值范围是【分析】：需要函数f [ f (x)]的解析式！∵f (x)存在零点，∴令f (x0)＝0 ∴令m＝x0 ∴f [x0·f (x0)＋f (n)]＝f 2(x0)＋n ∴f [ f (n)]＝n∴＝1－logax恰有三个不同的根，∴logax＝1－ （下略）a＞3．

若点P在曲线C1：y2＝8x上，点Q在曲线C2：(x－2)2＋y2＝1上，点O为坐标原点，则的最大值是 ．【知识点：抛物线定义、多变量问题、函数求最值问题】解：注意到圆C2的圆心恰好为抛物线的焦点F，因为P、Q为两个独立的点，可先考虑一个点动，注意到只有分母有Q，故先求出|PQ|的最小值为|PF|－1＝xp＋－1＝xp＋1，∵|OP|2＝＋＝＋8xp ∴＝令t＝xp＋1≥1 ∴y＝＝ (∈(0,1])∴＝时，ymax＝＝．

二、解答题．（本大题共6小题，共计90分．）

如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60o，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB1C1C； （2）平面CEF⊥平面ABC．

如图，函数y＝2cos(ωx＋φ)（ω＞0，0≤φ≤）的图象与y轴交于点(0,)，周期是π.（1）求ω、φ的值；（2）已知点A(,0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0,y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[,π]时，求x0的值．

解：（1）y＝2cos(2x＋)（2）∵A(,0)，Q(x0,y0)是PA中点，y0＝，∴P(2x0－,)．又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图象上，∴2cos(4x0－π＋)＝．∴cos(4x0＋)＝－∵x0∈[,π]，∴4x0＋∈[2π＋,4π＋] ∴4x0＋＝2π＋π－或4x0＋＝2π＋π＋ ∴x0＝或．

如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50㎞，B，C间的距离为100㎞，从A到C，必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25㎞/h，再乘汽车到C，车速为50㎞/h，记∠BDA＝θ．（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t(θ)；（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？

解：（1）∵AD＝，∴A到D所用时间t1＝BD＝＝，CD＝100－BD＝100－∴D到C所用时间t2＝2－ ∴t(θ)＝t1＋t2＝＋2（θ0＜θ＜，其中tanθ0＝）··························6分（2）t?(θ)＝＝····································8分令t?(θ)＞0，得：cosθ＜ ∴＜θ＜；∴当θ∈，时，t(θ)单调递增；同理θ0＜θ＜，t?(θ)＜0，t(θ)单调递减·····················12分∴θ＝，t(θ)取到最小值＋2；·························································13分答：当θ＝时，由A到C的时间最少为＋2小时．·····························14分

如图，已知点F1,F2是椭圆Cl：
＋y2 ＝1的两个焦点，椭圆C2：
＋y2 ＝?经过点F1,F2，点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D．设AB、CD的斜率分别为k、k?.（1）试问：k·k?是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．（2）求|AB|·|CD|的最大值．

解：（1）因为点
是椭圆
的两个焦点，故
的坐标是
；

而点
是椭圆
上的点，将
的坐标带入
的方程得，

设点
的坐标是：
，直线
和
分别是
.

（1）， 又点
是椭圆
上的点，故
（2）

联合（1）（2）两式得
，故k·k?为定值
．

（Ⅱ）直线
的方程可表示为：
(
) （3）

结合方程（4）和椭圆
的方程，得到方程组

由方程组消y得
（4）

,依韦达定理知，方程(4）的两根满足：

,

.(5)

同理可求得
(6) , 由（5）（6）两式得：

当且仅当
时等号成立.故
的最大值等于
.

已知函数
，
（其中a为常数）.（1）如果函数
和
有相同的极值点，求a的值；（2）设a＞0，问是否存在
，使得
，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数
，若函数
有5个不同的零点，求实数
的取值范围.

解：（1）
，则
，

令
，得
或
，而
在
处有极大值，

∴
，或
；综上：
或
.

（2）假设存在，即存在
，使得

，

当
时，又
，故
，

则存在
，使得
，

当
即
时，
得
，
；

当
即
时，
得
，
无解；

综上：
.

（3）据题意有
有3个不同的实根，
有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等.

（ⅰ）
有2个不同的实根，只需满足
；

（ⅱ）
有3个不同的实根，

当
即
时，
在
处取得极大值，而
，不符合题意，舍；

当
即
时，不符合题意，舍；

当
即
时，
在
处取得极大值，

；所以
；

因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故
；（注：
也对）

下证：这5个实根两两不相等，

即证：不存在
使得
和
同时成立；

若存在
使得
，

由
，即
，

得
，

当
时，
，不符合，舍去；

当
时，既有
①；

又由
，即
②；

联立①②式，可得
；

而当
时，
没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.

综上，当
时，函数
有5个不同的零点.

已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*，都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2．（1）求a3，a5；（2）设bn＝a2n＋1－a2n－1 (n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（3）设cn＝(an+1－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.

解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6

再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………4分

(2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8

于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8wwks5uc

即 bn＋1－bn＝8

所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………8分

(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列

则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2

另由已知(令m＝1)可得an＝
-(n－1)2.

那么an＋1－an＝
－2n＋1＝
－2n＋1＝2n

于是cn＝2nqn－1. ……………………………………12分

当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)

当q≠1时，Sn＝2q0＋4q1＋6q2＋……＋2nqn－1.

两边同乘以q，可得：qSn＝2q1＋4q2＋6q3＋……＋2nqn.

上述两式相减得：(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn＝2
－2nqn＝2
所以Sn＝2

综上所述，Sn＝
…………………………16分

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